Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua 1 điểm - Toán lớp 10

---

Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua 1 điểm

Với Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua 1 điểm Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua 1 điểm từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

A. Phương pháp giải

Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm M(x₀; y₀) . Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M :

- Nếu điểm M ∈ d thì đường thẳng d’ trùng với đường thẳng d.

- Nếu điểm M không thuộc d; ta làm như sau :

+ Bước 1: Do đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M nên d’//d

⇒ đường thẳng d’ có dạng : ax + by + c’ = 0 ( c’ ≠ c)

+ Bước 2: Lấy một điểm A thuộc d. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua M .

Khi đó điểm A’ thuộc đường thẳng d’.

+ Bước 3: Thay tọa độ điểm A’vào phương trình đường thẳng d’ ta tìm được c’. Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d’.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: 2x + 3y - 2 = 0 và điểm M( 2; -1). Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M .

A. 2x + 3y = 0    B. 2x + 3y - 1 = 0    C. 2x + 3y + 2 = 0    D. 2x + 3y - 4 = 0

Lời giải

+ Do đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M nên đường thẳng d’ song song với đường thẳng d.

⇒ Đường thẳng d’ có dạng: 2x + 3y + c = 0 ( c ≠ -2) .

+ Lấy điểm A(1; 0) thuộc đường thẳng d.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua M thì M là trung điểm của AA’

⇒ Tọa độ điểm A’ : ⇒ A’(3; -2)

+ Vì điểm A’ thuộc đường thẳng d’nên thay tọa độ điểm A’ vào đường thẳng d’ ta được :

2.3 + 3.(-2) + c = 0 ⇔ c = 0 .

Vậy phương trình đường thẳng d’là 2x + 3y = 0

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x - y + 2 = 0 và điểm M (1; 3) .Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M ?

A. x - y = 0    B. x - y + 2 = 0    C. x - y + 3 = 0    D. x - y - 4 = 0

Lời giải

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được :

    1 - 3 + 2 = 0 ( đúng )

⇒ Điểm M thuộc đường thẳng d.

⇒ Phép đối xứng qua điểm M biến đường thẳng d thành chính nó.

Vậy phương trình đường thẳng d’ cần tìm là d’ ≡ d: x - y + 2 = 0

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: 3x + y - 4 = 0 và điểm M( 0; 2). Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M .

A. 3x + y + 4 = 0    B. 3x + y - 1 = 0    C. 3x + y = 0    D. 3x + y - 4 = 0

Lời giải

+ Do đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M nên đường thẳng d’ song song với đường thẳng d.

⇒ Đường thẳng d’có dạng: 3x + y + c = 0 ( c ≠ - 4) .

+ Lấy điểm A(0; 4) thuộc đường thẳng d.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua M thì M là trung điểm của AA’

⇒ Tọa độ điểm A’: ⇒ A’(0; 0 )

+ Vì điểm A’ thuộc đường thẳng d’nên thay tọa độ điểm A’ vào đường thẳng d’ ta được : 3.0 + 0 + c ⇔ c = 0 .

Vậy phương trình đường thẳng d’ là 3x + y = 0

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho đường thẳng d: x - y + 4 = 0 và đường thẳng d’: . Hỏi có bao nhiêu điểm M thỏa mãn qua đối xứng tâm M biến đường thẳng d thành đường thẳng d’.

A. 0    B. 1.    C. 2    D. Vô số

Lời giải

+ Ta đưa đường thẳng d’ về dạng tổng quát:

Đường thẳng ( d’) :

⇒ Phương trình ( d) : 1(x - 0) - 1(y - 4) = 0 hay x - y + 4 = 0.

⇒ đường thẳng d trùng với đường thẳng d’.

+ Để qua đối xứng tâm M biến đường thẳng d thành d’ - tức là biến đường thẳng d thành chính nó thì điểm M phải nằm trên đường thẳng d.

⇒ Có vô số điểm M thỏa mãn đầu bài- đó là các điểm nằm trên đường thẳng d.

Chọn D.

Ví dụ 5 : Cho đường thẳng d: 2x + 3y - 6 = 0 và đường thẳng d’. 2x + 3y + 8 = 0 . Có điểm M sao cho qua đối xứng tâm M biến đường thẳng d thành đường thẳng d’. Hỏi điểm M thuộc đường thẳng nào?

A. 2x + 3y + 1 = 0    B. 2x + 3y + 2 = 0    C. 2x - 3y - 2 = 0    D. 2x - 3y = 0

Lời giải

Gọi tọa độ điểm M (a; b).

+ Lấy điểm A( 3; 0) thuộc đường thẳng d,

+ Gọi điểm A’ đối xứng với A qua M . Khi đó A’ thuộc đường thẳng d’.

+ Ta có M là trung điểm AA’ nên ta có tọa độ của A’ và B’ là

+ Mà A’( 2a - 3; 2b) ; thuộc đường thẳng d’: 2x + 3y + 8 = 0 nên thay tọa độ điểm này vào phương trình d’ ta được :

2(2a - 3) + 3.2b + 8 = 0 hay 4a + 6b + 2 ⇔ 2a + 3b + 1 = 0

⇒ Điểm M thuộc đường thẳng 2x + 3y + 1 = 0

Chọn A.

Ví dụ 6: Cho đường thẳng d: 3x - y + 9 = 0 và điểm M( 2; -1). Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M .

A. 3x - y = 0    B. 3x - y - 1 = 0    C. 3x - y + 2 = 0    D. 3x - y - 23 = 0

Lời giải

+ Do đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M nên đường thẳng d’ song song với đường thẳng d.

⇒ Đường thẳng d’có dạng: 3x - y + c = 0 ( c ≠ 9) .

+ Lấy điểm A(- 3; 0) thuộc đường thẳng d.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua M thì M là trung điểm của AA’

⇒ Tọa độ điểm A’: ⇒ A’(7; -2)

+ Vì điểm A’ thuộc đường thẳng d’nên thay tọa độ điểm A’ vào đường thẳng d’ta được : 3.7 - (-2) + c = 0 ⇔ c = - 23 .

Vậy phương trình đường thẳng d’là 3x - y - 23 = 0

Chọn D.

Ví dụ 7: Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d: 2x - 5y + 10 = 0 qua điểm A( 5; 4)?

A. 2x - 5y + 20 = 0    B. 2x - 5y + 1 = 0    C. 2x - 5y + 10 = 0    D. 2x - 5y + 8 = 0

Lời giải

+ Ta có: 2.5 - 5.4 + 10 = 0

⇒ điểm A thuộc đường thẳng d.

⇒ Qua phép đối xứng tâm A biến đường thẳng d thành chính nó.

Chọn C.

Ví dụ 8 : Cho hai đường thẳng d₁ : x + y - 1 = 0 ; d₂ : x - 3y + 3 = 0. Phương trình đường thẳng d đối xứng với d₁ qua đường thẳng d₂ là:

A. x - 7y + 1 = 0    B. x + 7y + 1 = 0    C. 7x + y + 1 = 0    D. 7x - y + 1 = 0

Lời giải:

+ Giao điểm của d₁ và d₂ là nghiệm của hệ

⇒ A(0; 1)

Lấy M(1; 0) ∈ d₁ . Tìm M’ đối xứng M qua d₂

+ Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với d₂:

∆:

⇒ Phương trình ∆: 3(x - 1) + 1(y - 0) = 0 hay 3x + y - 3 = 0

+ Gọi H là giao điểm của ∆ và đường thẳng d₂. Tọa độ H là nghiệm của hệ

+Ta có H là trung điểm của MM’. Từ đó suy ra tọa độ

+Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A và M’ : điểm đi qua A(0 ;1), vectơ chỉ phương vectơ pháp tuyến

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho đường thẳng d: 2x - 5y + 10= 0 và điểm M( 1; 1). Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M .

A. 2x - 5y = 0    B. 2x - 5y + 1 = 0    C. 2x - 5y - 4 = 0    D. 2x - 5y + 4 = 0

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

+ Do đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M nên đường thẳng d’ song song với đường thẳng d.

⇒ Đường thẳng d’có dạng: 2x - 5y + c = 0 ( c ≠ 10) .

+ Lấy điểm A(0; 2) thuộc đường thẳng d.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua M thì M là trung điểm của AA’

⇒ Tọa độ điểm A’: ⇒ A’(2; 0 )

+ Vì điểm A’ thuộc đường thẳng d’nên thay tọa độ điểm A’ vào đường thẳng d’ ta được : 2.2 - 5.0 + c ⇔ c = - 4 .

Vậy phương trình đường thẳng d’là 2x - 5y - 4 = 0

Câu 2: Cho đường thẳng d: x + 3y - 6 = 0 và đường thẳng d’: x + 3y - 2 = 0 . Có điểm M sao cho qua đối xứng tâm M biến đường thẳng d thành đường thẳng d’. Hỏi điểm M thuộc đường thẳng nào?

A. x + 3y - 4 = 0    B. x + 3y + 2 = 0    C. x - 3y - 2 = 0    D. x - 3y = 0

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

Gọi tọa độ điểm M (a; b).

+ Lấy điểm A( 3; 1) thuộc đường thẳng d,

+ Gọi điểm A’ đối xứng với A qua M . Khi đó A’ thuộc đường thẳng d’.

+ Ta có M là trung điểm AA’ nên ta có tọa độ của A’ và B’ là

+ Mà A’( 2a - 3; 2b - 1) ; thuộc đường thẳng d’: x + 3y - 2 = 0 nên thay tọa độ điểm này vào phương trình d’ ta được :

2a - 3 + 3(2b - 1) – 2 = 0 hay 2a + 6b - 8 = 0 ⇔ a + 3b - 4 = 0

⇒ Điểm M thuộc đường thẳng x + 3y - 4 = 0

Câu 3: Cho đường thẳng d: và đường thẳng d’: . Hỏi có bao nhiêu điểm M thỏa mãn qua đối xứng tâm M biến đường thẳng d thành đường thẳng d’.

A. 0    B. 1.    C. 2    D. Vô số

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

+ Đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

(d)

⇒ Phương trình đường thẳng d: 3( x – 1) + 4( y + 3) = 0

Hay 3x + 4y + 9 = 0

+ Ta đưa đường thẳng d’ về dạng tổng quát:

Đường thẳng ( d’) :

⇒ Phương trình ( d) : 3(x + 3) + 4(y - 0) = 0 hay 3x + 4y + 9 = 0.

⇒ đường thẳng d trùng với đường thẳng d’.

+ Để qua đối xứng tâm M biến đường thẳng d thành d’- tức là biến đường thẳng d thành chính nó thì điểm M phải nằm trên đường thẳng d.

⇒ Có vô số điểm M thỏa mãn đầu bài- đó là các điểm nằm trên đường thẳng d.

Câu 4: Cho đường thẳng d: x - 5y + 5 = 0 và điểm M ( 5; 2) .Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M ?

A. x - 5y = 0    B. x - 5y + 2 = 0    C. x - 5y + 3 = 0    D. x - 5y + 5 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được :

    5 - 5.2 + 5 = 0 ( đúng )

⇒ Điểm M thuộc đường thẳng d.

⇒ Phép đối xứng qua điểm M biến đường thẳng d thành chính nó.

Vậy phương trình đường thẳng d’ cần tìm là d’ ≡d: x - 5y + 5 = 0

Câu 5: Cho đường thẳng d: 4x - y + 8 = 0 và điểm M( 2; -1). Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M .

A. 4x - y - 26 = 0    B. 4x - y - 10 = 0    C. 4x - y + 20 = 0    D. 4x - y - 4 = 0

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

+ Do đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M nên đường thẳng d’ song song với đường thẳng d.

⇒ Đường thẳng d’có dạng: 4x - y + c = 0 ( c ≠ 8 ) .

+ Lấy điểm A(-2; 0) thuộc đường thẳng d.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua M thì M là trung điểm của AA’

⇒ Tọa độ điểm A’: ⇒ A’(6; -2)

+ Vì điểm A’ thuộc đường thẳng d’ nên thay tọa độ điểm A’ vào đường thẳng d’ ta được : 4.6 - (-2) + c = 0 ⇔ c = - 26.

Vậy phương trình đường thẳng d’là 4x - y - 26 = 0

Câu 6: Cho đường thẳng d: và điểm M ( 7; -4) .Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M ?

A. 2x - 3y - 4 = 0    B. 2x - 3y = 0    C. 2x + 3y + 4 = 0    D. 2x + 3y - 2 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được :

⇒ t= 2

⇒ Điểm M thuộc đường thẳng d.

⇒ Phép đối xứng qua điểm M biến đường thẳng d thành chính nó.

Vậy phương trình đường thẳng d’ cần tìm là d’ ≡d.

Ta viết đường thẳng d về dạng tổng quát:

( d) :

⇒ Phương trình đường thẳng d: 2( x - 1) + 3( y - 0) = 0 hay 2x + 3y - 2 = 0

Câu 7: Cho đường thẳng (d): x - 2y + 3 = 0 và A(3; 4). Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho AM= 5?

A. M( 1; -1)    B. M( ; )    C. M(-1; 1)    D. Cả B và C đúng

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

Gọi tọa độ điểm M(a;b).

Do M thuộc d nên a - 2b + 3 = 0 (1).

Khoảng cách hai điểm A và M là: AM= = 5

⇔ (a - 3)² + ( b - 4)² = 25 (2)

Từ (1) suy ra: a = 2b - 3 thế vào ( 2) ta được: ( 2b - 3 - 3)² + (b - 4)²= 25

⇔ ( 2b - 6)² + (b - 4)² = 25

⇔ 4b² – 24b + 36 + b² - 8b + 16 - 25 = 0

⇔ 5b² - 32b + 27 = 0 ⇔ b = 1 hoặc b =

+ Với b = 1 thì a = - 1 ⇒ M(-1; 1)

+ Với b = ⇒ a = ⇒ M( ; )

Vậy có hai điểm M thỏa mãn là M( -1; 1) và M( ; )

Câu 8: Cho hai đường thẳng d: 2x - y + 3 = 0 và ∆: x + 3y - 2 = 0. Phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua ∆ là:

A. 11x + 13y - 2 = 0    B. 11x - 2y + 13 = 0    C. 13x - 11y + 2 = 0    D. 11x + 2y - 13 = 0

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

+ Giao điểm của d và ∆ là nghiệm của hệ

⇒ A( - 1; 1)

+Lấy M(0; 3) ∈ d . Tìm M’ đối xứng M qua ∆

Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với ∆:

+Gọi H là giao điểm của ∆’ và đường thẳng ∆. Tọa độ H là nghiệm của hệ

+ Ta có H là trung điểm của MM’.

Từ đó suy ra tọa độ

+ Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua 2 điểm A và M’: điểm đi qua A(-1 ;1), vectơ chỉ phương vectơ pháp tuyến

d' : (x + 1) - (y - 1) = 0 ⇔ 11x - 2y + 13 = 0