Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - Toán lớp 10

---

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Với Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

A. Phương pháp giải

+ Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm M ( x₀; y₀). Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là: d(M; d) =

+ Cho điểm A( x_A; y_A) và điểm B( x_B; y_B) . Khoảng cách hai điểm này là :

AB =

Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng d chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khoảng cách từ điểm M( 1; -1) đến đường thẳng ( a) : 3x - 4y - 21 = 0 là:

A. 1    B. 2    C.    D.

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ( a) là:

d(M;a) = =

Chọn D.

Ví dụ 2: Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: = 1 là:

A. 4,8    B.    C. 1    D. 6

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d: = 1 ⇔ 8x + 6y - 48 = 0

⇒ Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d là :

d( O; d) = = 4,8

Chọn A.

Ví dụ 3: Khoảng cách từ điểm M(2; 0) đến đường thẳng là:

A. 2    B.    C.    D.

Hướng dẫn giải

+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

(d) :

⇒ Phương trình ( d) : 4( x - 1) – 3( y - 2) = 0 hay 4x - 3y + 2 = 0

+ Khoảng cách từ điểm M đến d là:

d( M; d) = = 2

Chọn A.

Ví dụ 4. Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0) và tiếp xúc với đường thẳng
(d): 8x + 6y + 100 = 0. Bán kính R của đường tròn (C) bằng:

A. R = 4    B. R = 6    C. R = 8    D. R = 10

Lời giải

Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) nên khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng d chính là bán kính R của đường tròn

⇒ R= d(O; d) = = 10

Chọn D.

Ví dụ 5 . Khoảng cách từ điểm M( -1; 1) đến đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0 bằng:

A.    B. 1    C.    D.

Lời giải

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:

d( M; d) = =

Chọn A.

Ví dụ 6. Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng (a): x - 3y + 4 = 0 và
(b): 2x + 3y - 1 = 0 đến đường thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0 bằng:

A. 2√10    B.    C.    D. 2

Lời giải

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng ( a) và ( b) tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình :

⇒ A( -1; 1)

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là :

d( A; ∆) = =

Chọn C

Ví dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A( 1; 2) ; B(0; 3) và C(4; 0) . Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng:

A.    B. 3    C.    D.

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng BC:

⇒ ( BC) : 3(x - 0) + 4( y - 3) = 0 hay 3x + 4y - 12 = 0

⇒ chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

d( A; BC) = =

Chọn A.

Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; -4); B(1; 5) và C(3;1) . Tính diện tích tam giác ABC.

A. 10    B. 5    C. √26    D. 2√5

Lời giải

+ Phương trình BC:

⇒Phương trình BC: 2( x - 1) + 1( y - 5) = 0 hay 2x + y - 7 = 0

⇒ d( A;BC) = = √5

+ BC = = 2√5

⇒ diện tích tam giác ABC là: S = .d( A; BC).BC = .√5.2√5 = 5

Chọn B.

Ví dụ 9: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d₁ : 4x - 3y + 5 = 0 và
d₂: 3x + 4y – 5 = 0, đỉnh A( 2; 1). Diện tích của hình chữ nhật là:

A. 1.    B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải

+ Nhận xét : điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.

⇒ Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A(2; 1) đến hai đường thẳng trên, do đó diện tích hình chữ nhật bằng

S = = 2 .

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Khoảng cách từ điểm M( 2;0) đến đường thẳng là:

A. 2    B.    C.    D.

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

(d) :

=> Phương trình (d) : 4( x - 1) – 3( y - 2) = 0 hay 4x - 3y + 2 = 0.

+ Khi đó khoảng cách từ M đến d là:

d(M, d)= = 2

Câu 2: Đường tròn ( C) có tâm I ( -2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng
d: 5x + 12y - 10 = 0. Bán kính R của đường tròn ( C) bằng:

A. R =    B. R =    C. R = 44    D. R =

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) nên khoảng cách từ tâm đường tròn ( C) đến đường thẳng d chính là bán kính đường tròn.

=> R = d(I; d) = =

Câu 3: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng (a) : 4x - 3y + 5 = 0 và
(b) : 3x + 4y - 5 = 0. Biết hình chữ nhật có đỉnh A( 2 ;1). Diện tích của hình chữ nhật là:

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Ta thấy: điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.

Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A đến hai đường thẳng trên.

Độ dài 2 cạnh là: d( A; a) = = 2; d(A; b) = = 1

do đó diện tích hình chữ nhật bằng : S = 2.1 = 2

Câu 4: Cho hai điểm A( 2; -1) và B( 0; 100) ; C( 2; -4) .Tính diện tích tam giác ABC ?

A. 3    B.    C.    D. 147

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

+ Phương trình đường thẳng AC:

=> Phương trình AC: 1( x - 2) + 0.(y + 1) = 0 hay x - 2= 0..

+ Độ dài AC = = 3 và khoảng cách từ B đến AC là:

d(B; AC) = = 2

=> Diện tích tam giác ABC là : S = AC.d( B;AC) = .3.2 = 3 .

Câu 5: Khoảng cách từ A(3; 1) đến đường thẳng gần với số nào sau đây ?

A. 0, 85    B. 0,9    C. 0,95    D. 1

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

(d):

=> ( d): 2(x - 1) + 1( y - 3) = 0 hay 2x + y - 5 = 0

=> d(A, d) = ≈ 0,894

Câu 6: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng 4x - 3y + 5 = 0 và
3x + 4y + 5 = 0 đỉnh A(2; 1) . Diện tích của hình chữ nhật là

A. 6    B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

+ Khoảng cách từ đỉnh A(2; 1) đến đường thẳng 4x - 3y + 5 = 0 là = 2

+ Khoảng cách từ đỉnh A(2; 1) đến đường thẳng 3x + 4y + 5 = 0 là = 3

=> Diện tích hình chữ nhật bằng 2.3 = 6

Câu 7: Tính diện tích hình bình hành ABCD biết A( 1; -2) ; B( 2; 0) và D( -1; 3)

A. 6    B. 4,5    C. 3    D. 9

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

+ Đường thẳng AB:

=> Phương trình AB: 2(x - 1) – 1(y + 2) = 0 hay 2x – y - 4 = 0

+ độ dài đoạn AB: AB = = √5

Khoảng cách từ D đến AB: d( D; AB)= =

=> Diện tích hình chữ nhật ABCD là S = AB.d( D; AB) = √5. = 9

Câu 8: Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳn (d) : x + y - 2 = 0 và
( ∆) : 2x + 3y - 5 = 0 đến đường thẳng (d’) : 3x - 4y + 11 = 0

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

+ Giao điểm A của hai đường thẳng d và ∆ là nghiệm hệ phương trình

=> A( 1; 1)

+ Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d’) là :

d( A; d’) = = 2