Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất dựa vào ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai.

Phướng pháp giải:

Bước 1. Đưa bất đẳng thức về một trong các dạng:

ax² + bx + c > 0 hoặc ax² + bx + c ≥ 0 hoặc ax² + bx + c < 0 hoặc ax² + bx + c ≤ 0.

(Khi đó, để chứng minh bất đẳng thức thì ta chứng minh các bất phương trình trên nghiệm đúng với mọi x.)

Bước 2. Chứng minh $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta <0\end{array}\right.$hoặc $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta <0\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.$ (theo thứ tự tương ứng với bất phương trình ở Bước 1).

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Cho hai số thực x, y. Chứng minh rằng 3x² + 5y² – 2x – 2xy + 1 > 0.

Hướng dẫn giải:

⦁ Ta viết bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng 3x² – 2(y + 1)x + 5y² + 1 > 0.

Đặt f(x) = 3x² – 2(y + 1)x + 5y² + 1.

Ta xem y là tham số khi đó f(x) là tam thức bậc hai ẩn x.

⦁ f(x) có hệ số a_x = 3 > 0 và ∆_x’ = (y + 1)² – 3(5y² + 1) = –14y² + 2y – 2.

Để f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ thì ∆_x’ = g(y) < 0  với mọi y ∈ ℝ.

⦁ Xét g(y) = –14y² + 2y – 2 có hệ số a_y = –14 < 0 và ∆_y’ =  –27 < 0

Suy ra g(y) < 0 với mọi y ∈ ℝ hay ∆_x’ < 0 với mọi y ∈ ℝ.

Do đó f(x) > 0 với mọi x, y ∈ ℝ.

Vậy 3x² + 5y² – 2x – 2xy + 1 > 0 với mọi x, y ∈ ℝ.

Ví dụ 2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và x, y, z thỏa mãn: a²x + b²y + c²z = 0. Chứng minh rằng: xy + yz + zx ≤ 0.

Hướng dẫn giải:

* Nếu trong ba số x, y, z có một số bằng 0, chẳng hạn x = 0. Suy ra b²y = –c²z.

Khi đó xy + yz + zx = yz = $-\frac{c^2}{b^2}{z}^2$ ≤ 0 với mọi a, b, c > 0.

* Nếu x, y, z ≠ 0. Do a²x + b²y + c²z = 0. Suy ra $x=-\frac{b^{2}y+c^{2}z}{a^2}$

xy + yz + zx ≤ 0 $\iff -\left(y+z\right)\frac{b^{2}y+c^{2}z}{a^2}+yz\le 0$

⇔ (b²y + c²z)(y + z) – a²yz ≥ 0

⇔ b²y² + b²yz + c²yz + c²z² – a²yz ≥ 0

⇔ f(y) = b²y² + (b² + c² – a²)yz + c²z² ≥ 0.

Tam thức f(y) có hệ số b² > 0 và ∆_y = [(b² + c² – a²)² – 4b²c²].z²

Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có $\left\{\begin{array}{l}\left|b-c\right|<a\\ b+c>a\end{array}\right.$

Nên –2bc < b² + c² – a² < 2bc.

Suy ra (b² + c² – a²)² < 4c²b²

Do đó Δ_y ≤ 0 với mọi z.

Vậy f(y) ≥ 0 với mọi y, z.

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{xy}{3y+1}$ với x, y là các số thực thỏa mãn: x²y² + 2y + 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Ta có x²y² + 2y + 1 = 0 ⇔ 2y = – x²y² –1

$P=\frac{2xy}{3\cdot 2y+2}=\frac{2xy}{3\left(–x^2{y}^2–1\right)+2}=\frac{2xy}{–3x^2{y}^2–1}$

Suy ra 3P.(xy)² + 2xy + P = 0 (1)

⦁ Với P = 0 thì xy = 0 (không thỏa mãn).

⦁ Với P ≠ 0, ta có (1) là phương trình bậc hai với ẩn xy, do đó để phương trình có nghiệm thì Δ’ = 1 – 3P² ≥ 0 $\iff –\frac{1}{\sqrt{3}}\le P\le \frac{1}{\sqrt{3}}$

Dấu “=” xảy ra khi Δ = 0, khi đó $xy=-\frac{1}{3P}$

Vậy giá trị lớn nhất của P là $\frac{1}{\sqrt{3}}$ khi $\left\{\begin{array}{l}xy=-\frac{1}{\sqrt{3}}\\ 2y=–x^2{y}^2–1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}xy=-\frac{1}{\sqrt{3}}\\ y=–\frac{2}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ y=–\frac{2}{3}\end{array}\right..$

Giá trị nhỏ nhất của P là $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ khi $\left\{\begin{array}{l}xy=\frac{1}{\sqrt{3}}\\ 2y=–x^2{y}^2–1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}xy=\frac{1}{\sqrt{3}}\\ y=–\frac{2}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ y=–\frac{2}{3}\end{array}\right..$

3. Bài tập tự luyện 

Bài 1. Giá trị của y sao cho bất đẳng thức x² + 9y² + 5z² + 6xy – 4xz – 12yz – 2z + 1 ≥ 0 đúng với mọi x, z ∈ ℝ là

A. y ∈ ∅;

B. y ∈ ℝ;

C. $–\frac{2}{3}\le y\le 0$;

D. $y<-\frac{2}{3}$ hoặc y > 0.

Bài 2. Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn: xy + yz + zx + xyz = 4. Ta chứng minh được bất đẳng thức: x + y + z ≥ xy + yz + zx. Trong các bộ số (x; y; z) dưới đây, bộ số nào đúng khi x + y + z = xy + yz + zx?

A. (2; 2; 2);

B. (1; 1; 0);

C. (2; 2; 0);

D. (0; 0; 1).

Bài 3. Cho các số thực dương x, y, z. Ta chứng minh được xyz + 2(x² + y² + z²) + 8 ≥ 5(x + y + z). Dấu bằng xảy ra khi

A. x = y = z = 2;

B. x = y = z = 1;

C. x = y = 1; z = 2;

D. x = 1; y = z = 2.

Bài 4. Cho các số thực x, y thỏa mãn bất phương trình 5x² + 5y² – 5x – 15y + 8 ≤ 0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + 3y là

A. 2;

B. 3;

C. 4;

D. 5.

Bài 5. Cho a, b là các số thực thỏa mãn a² + b² = 4a – 3b. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2a + 3b là

A. $\frac{–1+5\sqrt{13}}{2}$;

B. $\frac{–9+5\sqrt{13}}{18}$;

C. $\frac{–9+4\sqrt{13}}{18}$;

D. $\frac{–1–5\sqrt{13}}{2}$.

Bài 6. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x² + y² + z² = 5 và x – y + z = 3. Giá trị lớn nhất của $P=\frac{x+y–2}{z+2}$ là

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Bài 7. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x² + 3x – 1 là

A. $-\frac{1}{4}$;

B. 0;

C. $-\frac{13}{4}$;

D. –1.

Bài 8. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1. Giá trị lớn nhất của P = 9xy + 10yz + 11zx là

A. $maxP=\frac{45}{18}$;

B. $maxP=\frac{49}{148}$;

C. $maxP=\frac{95}{148}$;

D. $maxP=\frac{495}{148}$.

Bài 9. Cho x, y là các số thực thỏa mãn x² + y² = x + 2. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + 2y là

A. $\frac{1–3\sqrt{5}}{2}$;

B. $\frac{1+3\sqrt{5}}{2}$;

C. $\frac{–1–3\sqrt{5}}{2}$;

D. $\frac{–1+3\sqrt{5}}{2}$.

Bài 10. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^2+1}{x^2–x+1}$ là

A. –1;

B. 2;

C. $\frac{2}{3}$;

D. 1.