Trắc nghiệm Hệ tọa độ trong không gian có đáp án năm 2023(phần 2)
Trắc nghiệm Hệ tọa độ trong không gian có đáp án năm 2023 (phần 2)
Với bộ Trắc nghiệm Hệ tọa độ trong không gian có đáp án năm 2023 (phần 2) sẽ giúp học sinh hệ thống lại kiến thức bài học và ôn luyện để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Hình học lớp 12.
Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→ = (1; -2; 2), b→ = (-2; m - 3; m) . Với những giá trị nào của m thì hai vectơ a→ và b→ có độ dài bằng nhau?
A. m = 1 hoặc m = 2 C. m = 2
B. m = 1 D. Không có m
Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho điểm G(1;2;3) là trọng tâm của tam giác ABC trong đó A thuộc trục Ox, B thuộc trục Oy, C thuộc trục Oz. Tọa độ các điểm A, B, C là:
A. A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3) C. A(-3; 0; 0), B(0; -6; 0), C(0; 0; -9)
B. A(3; 0; 0), B(0; 6; 0), C(0; 0; 9) D. A(6; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 9)
Do A thuộc trục Ox, B thuộc trục Oy, C thuộc trục Oz nên A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C(0; 0; c).
Mà điểm G(1;2;3) là trọng tâm của tam giác ABC nên:
Câu 33: Trong không gian Oxyz, ba điểm nào dưới đây lập thành ba đỉnh của một tam giác?
A. A(1; 2; 3), B(5; -4; -1), C(3; -1; 1) C. A(1; 2; 3), B(5; -4; -1), C(9; -10; -5)
B. A(1; 2; 3), B(5; -4; -1), C(6; -2; 2) D. A(1; 2; 3), B(5; -4; -1), C(-3; 8; 7)
Để ba điểm A, B,C lập thành ba đỉnh của 1 tam giác khi và chỉ khi ba điểm A, B,C không thẳng hàng hay hai vecto AB→; AC→ không cùng phương
Xét phương án B ta có:
AB→ = (4; -6; -4); AC→ = (5; -4; -1)
Suy ra hai vecto này không cùng phương hay 3 điểm A, B, C không thằng hàng.
Câu 34: Cho hai vectơ a→, b→ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn
Giá trị nhỏ nhất của:
A. 11 B. -1 C. 1 D. √61
Sử dụng bất đẳng thức vectơ:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ này ngược hướng. Suy ra đáp án A.
Hai đáp án B và C xuất phát từ sai lầm
Đáp án D xuất phát từ sai lầm
Câu 35: Trong không gian cho hai điểm A(x; y; z), B(m, n, p) thay đổi nhưng luôn thỏa mãn các điều kiện x2 + y2 + z2 = 4, m2 + n2 + p2 = 9. Vectơ AB→ có độ dài nhỏ nhất là:
A. 5 B. 1 C. 13 D. Không tồn tại
Từ giả thiết suy ra
Do đó AB ≥ |OA - OB| = 1. Dấu bằng xảy ra khi O nằm ngoài đoạn AB. Suy ra đáp án đúng là B.
Hai đáp án A, D sai do nhầm OA = x2 + y2 + z2 = 4; OB = m2 + n2 + p2 = 9
Đáp án C sai do nhầm với câu hỏi vectơ AB→ có độ dài lớn nhất
Câu 36: Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD với A(0;1;-2), B(3;-2;1), D(1;4;2). Tọa độ của điểm C là:
A. (4;1;5) B. (4;3;1) C. (4;2;3) D. (4;1;1)
Câu 37: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(0;0;0), B(1;2;0), D(2;-1;0), A’(5;2;3). Tọa độ của điểm C’ là:
A. (3;1;0) B. (8;3;3) C. (-8;-3;-3) D. (-2;-1;-3)
Sử dụng quy tắc hình hộp trong không gian:
Ta có:
Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho vectơ a→ = (1; -2; 3) . Tìm tọa độ của vectơ b→ biết rằng vectơ b→ ngược hướng với vectơ a→ và |b→| = 2|a→|
Vì vectơ b→ ngược hướng với vectơ a→ và |b→| = 2|a→| nên:
b→ = -2a→ = (-2; 4; -6)
Câu 39: Trong không gian Oxyz, cho vectơ a→ = (-1; -2; 3) . Tìm tọa độ của vectơ b→ = (2; y; z) biết rằng vectơ b→ cùng phương với vectơ a→
Vectơ b→ cùng phương với vectơ a→ khi và chỉ khi tồn tại một số thực k thỏa mãn:
Câu 40: Trong không gian Oxyz, cho vectơ a→ = (m; m + 3; 3 - 2m). Với giá trị nào của m thì vectơ a→ có độ dài nhỏ nhất
A. m = 1/2 B. m = 0 C. m = 1 D. m = -3
Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u→ = (3; 4; 0), v→ = (2; -1; 2) . Tích vô hướng của hai vectơ u→ và v→ là:
A. 15 B. 2 C. 3 D. 0
Câu 42: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:
(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 25
Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
A. I(1; -2; -3); R = 25 C. I(-1; 2; 3); R = 25
B. I(-1; 2; 3); R = 5 D. I(1; -2; -3); R = 5
Câu 43: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:
x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 4z + 5 = 0
Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
A. I(1; -2; -2); R = 2 C. I(-1; 2; 2); R = 2
B. I(1; -2; -2); R = 4 D. I(-2; 4; 4); R = 4
Câu 44: Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt cầu?
A. x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 8z - 25 = 0
B. x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z + 15 = 0
C. 3x2 + 3y2 + 3z2 - 6x - 7y - 8z + 1 = 0
D. (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 + 10 = 0
Sử dụng phương trình x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi a2 + b2 + c2 - d > 0
+ Phương án A và B không thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 - d > 0
+ Phương án C: 3x2 + 3y2 + 3z2 - 6x - 7y - 8z + 1 = 0
Nên đây có là phương trình mặt cầu.
+ Phương án D: (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 + 10 = 0
⇔ (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = -10 nên không là phương trình mặt cầu.
Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:
3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x - 8y + 15z - 3 = 0
Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có đường kính AB với A(-2;-4;3), B(4;2;0). Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
(S) có bán kính:
và có tâm I là trung điểm của AB. Ta có:
Câu 47: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;-3) và đi qua điểm M(-1;0;-2). Phương trình của mặt cầu (S) là:
A. (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 3 C. (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 3
B. (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 9 D. (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 9
Câu 48: Cho (S) là mặt cầu có tâm I(1;2;4) và đi qua điểm M(-1;4;3). Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Bán kính của mặt cầu (S) là R = IM = 3
B. Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là: (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 4)2 = 9
C. Mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ
D. Phương trình tổng quát của mặt cầu (S) là: x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 8z + 12 = 0
Ta có: 
.
Suy ra:
* Bán kính của mặt cầu (S) là R = IM = 3
* Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là:
(x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 4)2 = 9
* Phương trình tổng quát của mặt cầu (S) là:
x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 8z + 12 = 0
* Thay tọa độ điểm O vào phương trình mặt cầu ta thấy không thỏa mãn nên mặt cầu không đi qua gốc tọa độ O.
Câu 49: Cho mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính R=4. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Diện tích của mặt cầu (S) bằng 16π
B. Thể tích của khối cầu (S) bằng 64π/3
C. Phương trình chính tắc cúa (S) là: (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 16
D. Phương trình tổng quát của mặt cầu (S) là: x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z - 2 = 0
Câu 50: Cho mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-1) và bán kính R=3. Phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với mặt cầu (S) qua gốc tọa độ là:
A. (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z + 1)2 = 9
C. x2 + y2 + z2 - 2x - 4y + 2z - 3 = 0
B. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z - 1)2 = 9
D. x2 + y2 + z2 = 9
Mặt cầu (S’) đối xứng với mặt cầu (S) qua gốc tọa độ nên mặt cầu (S’) có tâm I’(-1;-2; 1) đối xứng với I qua gốc O và có bán kính R’ = R = 3.
Phương trình mặt cầu (S’) là:(x + 1)2 + (y + 2)2 + (z - 1)2 = 9
Câu 51: Cho mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 6z - 2 = 0 . Điểm M(m; -2; 3) nằm trong mặt cầu khi và chỉ khi:
A. m=6 B. m > -3 C. -3 < m < 5 D. m < 5
Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;3),
M nằm trong mặt cầu (S) khi và chỉ khi: IM < R nên
Câu 52: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(0;0;1), bán kính R=5. Mặt phẳng (P): 4x - 4y + z + m = 0 cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 5. Khi đó m bằng:
A. m=-1 B. m=-4 C. m=3 D. Đáp số khác
Do mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 5 bằng bán kính mặt cầu nên tâm I thuộc mặt phẳng (P) .
Thay tọa độ tâm I vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:
4.0- 3.0 + 1+ m= 0 nên m = -1 .
Câu 53: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A(4;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;2). Phương trình của mặt cầu (S) là:
A. (x - 1)2 + (y + 1)2 + (z - 1)2 = 6 C. (x - 4)2 + (y + 2)2 + (z + 2)2 = 24
B. (x - 2)2 + (y + 1)2 + (z - 1)2 = 24 D. (x + 2)2 + (y - 1)2 + (z + 1)2 = 6
Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu (S). Ta có:
Từ đó: R = OI = √6
Vậy phương trình của mặt cầu (S) là: (x - 2)2 + (y + 1)2 + (z - 1)2 = 6
Câu 54: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A(-4;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4). Phương trình của mặt cầu (S) là:
A. x2 + y2 + z2 + 2x - y - 2z = 0 C. x2 + y2 + z2 + 4x - 2y + 4z = 0
B. x2 + y2 + z2 + 4x + 2y - 4z = 0 D. x2 + y2 + z2 + 4x - 2y - 4z = 0
Phương trình tổng quát của mặt cầu (S) có dạng x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 với a2 + b2 + c2 - d > 0
Ta có: O(0; 0; 0) ∈ (S) ⇔ d = 0
A(-4; 0; 0) ∈ (S) ⇔ (-4)2 + 02 + 02 - 2a.(-4) - 0 - 0 + 0 = 0 ⇔ a = -2
B(0; 2; 0) ∈ (S) ⇔ 02 + 22 + 02 - 0 - 2b.2 - 0 + 0 = 0 ⇔ b = 1
C(0; 0; 4) ∈ (S) ⇔ 02 + 02 + 42 - 0 - 0 - 2c.4 - 0 = 0 ⇔ c = 2
Vậy phương trình tổng quát của mặt cầu (S) là: x2 + y2 + z2 + 4x -2y - 4z = 0
Câu 55: Vị trí tương đối của hai mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1), bán kính R = 1 và mặt cầu (S’) có tâm I'(3;3;3), bán kính R’=1 là:
A. ở ngoài nhau B. tiếp xúc C. cắt nhau D. chứa nhau
Do đó, hai mặt cầu đã cho ở ngoài nhau.
Câu 56: Vị trí tương đối của hai mặt cầu: x2 + y2 + z2 + 2x - 2y - 2z - 7 = 0 và x2 + y2 + z2 + 2x + 2y + 4z + 5 = 0 là:
A. ở ngoài nhau B. tiếp xúc C. cắt nhau D. chứa nhau
Mặt cầu: x2 + y2 + z2 + 2x - 2y – 2z – 7 = 0 có tâm I(-1; 1;1) và
Mặt cầu: x2 + y2 + z2 + 2x + 2y + 4z + 5= 0 có tâm I’( -1; -1; -2) và R’ = 1
Do đó, hai mặt cầu này cắt nhau.
Câu 57: Trong không gian Oxyz, cho A(1;0;-3), B(-3;-2;-5). Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian tỏa mãn đẳng thức AM2 + 2BM2 = 30 là một mặt cầu (S). Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (S).
A. I(-1; -1; -4); R = √6 C. I(-1; -1; -4); R = √30/2
B. I(-2; -2; -8); R = 3 D. I(-1; -1; -4); R = 3
Gọi I là trung điểm của AB. AB = √24
Theo công thức đường trung tuyến ta có
Mặt khác ta có 
Nên I(-1; -1; -4) . Từ đó suy ra đáp án đúng là D.
Đáp án A và C sai do nhớ nhầm công thức tính đường trung tuyến
Đáp án B sai do tính nhầm công thức trung điểm
Câu 58: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;2;-4), B(-3;5;2). Tìm tọa độ điểm M sao cho biểu thức AM2 + 2BM2 đạt giá trị nhỏ nhất.
A. M(-3/2; 7/2; -1) B. M(-1; 3; -2) C. M(-2; 4; 0) D. M(-3; 7; -2)
Gọi M(x; y; z). Ta có:
AM2 + 2BM2 = x2 + (y - 2)2 + (z + 4)2 + 2[(x + 3)2 + (y - 5)2 + (z - 2)2]
= x2 + y2- 4y + 4+ z2 +8z+ 16 + 2(x2+ 6x + 9 + y2 – 10y + 25 + z2 – 4z + 4)
= 3(x2 + y2 + z2 + 4x - 8y) + 96 = 3[(x + 2)2 + (y - 4)2 + z2] + 36 ≥ 36
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = -2, y = 4, z = 0 → M(-2; 4; 0) .
Vậy đáp án đúng là C
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M trùng I. Từ đó sau khi tìm được điểm I ta suy ra đáp án C đúng.
Nếu đề bài hỏi AM2 + BM2 đạt giá trị nhỏ nhất thì đáp án đúng là A ( vị trí trung điểm của AB)
Câu 59: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là: (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 3)2 = 4
Cho ba điểm A, M, B nằm trên mặt cầu (S) thỏa mãn điều kiện góc AMB = 90o . Diện tích tam giác AMB có giá trị lớn nhất là:
A. 4 B. 2 C. 4π D. Không tồn tại
Ba điểm A, M, B nằm trên mặt cầu (S) thỏa mãn điều kiện 
= 90°
Nên tam giác AMB vuông tại M.
Ta có:
Dấu bằng xáy ra khi và chỉ khi tam giác MAB vuông cân tại M và AB là một đường kính của mặt cầu (S). Vậy đáp án đúng là A.
Câu 60: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu (S) và (S’) có tâm lần lượt là I(-1;2;3), I’(3;-2;1) và có bán kính lần lượt là 4 và 2. Cho điểm M di động trên mặt cầu (S), N di động trên mặt cầu (S’). Khi đó giá trị lớn nhất của đoạn thẳng MN bằng:
A. 8 B. 2 C. 12 D. 6
Ta có: II' = 6 = R + R'
Ta có: MN ≥ MI + II' + I'N = R + 6 + R' = 12
Dấu bằng xảy ra khi M, I, I', N theo thứ tự nằm trên một đường thẳng. Do đó M là giao điểm của tia đối của tia II' với mặt cầu (S), N là giao điểm của tia đối của tia I’I với mặt cầu (S’). Vậy đáp án đúng là C.
