Bài 5 trang 14 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo

❮ Bài trước Bài sau ❯

Hàm lượng các vi chất (chất vi lượng) calcium, phosphorus và iron chứa trong 100 g hai loại thực phẩm X và Y được cho ở bảng sau:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Bài toán quy hoạch tuyến tính - Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 14 Chuyên đề Toán 12: Hàm lượng các vi chất (chất vi lượng) calcium, phosphorus và iron chứa trong 100 g hai loại thực phẩm X và Y được cho ở bảng sau:

Bài 5 trang 14 Chuyên đề Toán 12

Từ hai loại thực phẩm X và Y, người ta muốn tạo ra một lượng thực phẩm hỗn hợp chứa ít nhất 2 000 mg calcium, 3 000 mg phosphorus, 48 mg iron. Cần chọn bao nhiêu gam thực phẩm mỗi loại X và Y sao cho lượng thực phẩm hỗn hợp có khối lượng nhỏ nhất?

Lời giải:

Gọi x, y (x ≥ 0, y ≥ 0, tính theo gam) lần lượt là số gam thực phẩm loại X và loại Y cần chọn để tạo ra thực phẩm hỗn hợp.

Từ yêu cầu thực phẩm hỗn hợp cần chứa ít nhất 2 000 mg calcium, 3 000 mg phosphorus, 48 mg iron, ta có các bất phương trình

$\{\begin{cases} 2 x + 5 y \geq 2000 \\ 6 x + 3 y \geq 3000 \\ 0,08 x + 0,06 y \geq 48 \end{cases}$ hay $\{\begin{cases} 2 x + 5 y \geq 2000 \\ 2 x + y \geq 1000 \\ 4 x + 3 y \geq 2400. \end{cases}$

Lượng thực phẩm hỗn hợp có khối lượng là F = x + y (g).

Từ đó, ta nhận được bài toán quy hoạch tuyến tính:

F = x + y → min

với ràng buộc

$\{\begin{cases} 2 x + 5 y \geq 2000 \\ 2 x + y \geq 1000 \\ 4 x + 3 y \geq 2400 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0. \end{cases}$

Tập phương án Ω của bài toán là miền không bị gạch chéo trên hình dưới đây, có các đỉnh là A(1 000; 0), $B (\frac{3000}{7}; \frac{1600}{7})$ , C(300; 400) và D(0; 1 000).

Bài 5 trang 14 Chuyên đề Toán 12

Miền Ω nằm trong góc phần tư thứ nhất, các hệ số của hàm mục tiêu F dương nên F đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của Ω.

Giá trị của F tại các đỉnh:

F(1 000; 0) = 1 000 + 0 = 1 000;

$F (\frac{3000}{7}; \frac{1600}{7}) = \frac{3000}{7} + \frac{1600}{7} = \frac{4600}{7}$ ;

F(300; 400) = 300 + 400 = 700;

F(0; 1 000) = 0 + 1 000 = 1 000.

Suy ra $\min_{Ω} F = \frac{4600}{7}$ , đạt được khi $x = \frac{3000}{7}; y = \frac{1600}{7}$ .

Vậy cần dùng $\frac{3000}{7}$ g thực phẩm loại X và $\frac{1600}{7}$ g thực phẩm loại Y thì lượng thực phẩm hỗn hợp có khối lượng nhỏ nhất.

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Bài toán quy hoạch tuyến tính hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯