Cho biết dãy số (Un) có giới hạn hữu hạn, còn dãy số (Vn) không có giới hạn hữu hạn

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 4.2 trang 156 Sách bài tập Đại số 11: Cho biết dãy số (u_n) có giới hạn hữu hạn, còn dãy số (v_n) không có giới hạn hữu hạn. Dãy số (u_{n + vn) có thể có giới hạn hữu hạn không?}

Lời giải:

Dãy (u_n + v_n) không có giới hạn hữu hạn.

Thật vậy, giả sử ngược lại (u_n + v_n) có giới hạn hữu hạn.

Khi đó, các dãy số (u_n + v_n) và (u_n) cùng có giới hạn hữu hạn, nên hiệu của chúng cũng là một dãy có giới hạn hữu hạn, nghĩa là dãy số có số hạng tổng quát là u_n + v_n − u_n = v_n có giới hạn hữu hạn. Điều này trái với giả thiết (v_n) không có giới hạn hữu hạn.