Cho hàm số y = sin4x Chứng minh rằng sin4(x + kπ/2) = sin4x với k ∈ Z

Ôn tập cuối năm

Bài 4 trang 231 Sách bài tập Đại số 11: Cho hàm số y = sin4x

a) Chứng minh rằng sin4(x + kπ/2) = sin4x với k ∈ Z

Từ đó vẽ đồ thị của hàm số

y = sin4x; (C₁)

y = sin4x + 1. (C₂)

b) Xác định giá trị của m để phương trình: sin4x + 1 = m (1)

- Có nghiệm

- Vô nghiệm

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C₂) tại điểm có hoành độ x₀ = π/24

Lời giải:

a) Ta có sin4(x + kπ/2) = sin(4x + k2π) = sin4x với k ∈ Z. Từ đó suy ra hàm số y = sin4x là hàm số tuần hoàn với chu kì π/2.

Vì hàm số y = sin4x là hàm số lẻ nên đồ thị của nó có tâm đối xứng là gốc tọa độ O.

Các hàm số y = sin4x (C₁) và y = sin4x + 1 (C₂) có đồ thị như trên hình 1 và hình 2.

b) Vì sin4x + 1 = m ⇔ sin4x = m – 1

và -1 ≤ sin4x ≤ 1

nên -1 ≤ m – 1 ≤ 1

⇔ 0 ≤ m ≤ 2.

Từ đó, phương trình (1) có nghiệm khi 0 ≤ m ≤ 2 và vô nghiệm khi m > 2 hoặc m < 0.

c) Phương trình tiếp tuyến của (C₂) có dạng

y - y_o = y’(x_o)(x - x_o).