Cho dãy số (Un) Biết (Un) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó

Ôn tập chương 4

Bài 4.50 trang 173 Sách bài tập Đại số 11: Cho dãy số (u_n) xác định bởi

a) Chứng minh rằng u_n > 0 với mọi n.

b) Biết (u_n) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Lời giải:

a) Chứng minh bằng quy nạp: u_n > 0 với mọi n. (1)

- Với n = 1 ta có u₁ = 1 > 0

- Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là u_k > 0 ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1

Ta có

Vì u_k > 0 nên

- Kết luận: u_n > 0 với mọi n.

b) Đặt lim u_n = 0

Vì u_n > 0 với mọi n, nên lim u_n = a ≥ 0. Từ đó suy ra lim u_n = √3