Cho tứ diện OABC có OA OB OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là hình chiếu

❮ Bài trước Bài sau ❯

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 8 - Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 76 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a) BC ⊥ (OAH).

b) H là trực tâm của ∆ABC.

c) $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$ .

Lời giải:

Cho tứ diện OABC có OA OB OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là hình chiếu

a)Ta có: Cho tứ diện OABC có OA OB OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là hình chiếu

$\Rightarrow O A ⊥ (O B C) \Rightarrow O A ⊥ B C . (1)$

$O H ⊥ B C (O H ⊥ (A B C)) . (2)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ BC ⊥ (OAH).

b)Từ a) $\Rightarrow$ BC ⊥ AH. (*)

Ta dễ dàng chứng minh được OC ⊥ (OAB) $\Rightarrow$ OC ⊥ AB. (3)

Lại có: OH ⊥ AB (do OH ⊥ (ABC)) $\Rightarrow$ OH ⊥ AB. (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow$ AB ⊥ (OHC) hay AB ⊥ HC. (**)

Từ (*) và (**) $\Rightarrow$ H là trực tâm của tam giác ABC.

c)Dễ thấy OD, OH là các đường cao của tam giác OBC và OAD.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

Cho tứ diện OABC có OA OB OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là hình chiếu

Do đó $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}} .$

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 8 hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯