Cho tam giác OMN vuông cân tại O, OM= ON = 1. Trong tam giác OMN, vẽ hình vuông OA1B1C1

❮ Bài trước Bài sau ❯

Cho tam giác OMN vuông cân tại O, OM= ON = 1. Trong tam giác OMN, vẽ hình vuông OABC sao cho các đỉnh A, B, C lần lượt nằm trên các cạnh OM, MN, ON. Trong tam giác AMB, vẽ hình vuông AABC sao cho các đỉnh A, B, C lần lượt nằm trên các cạnh AM, MB, AB. Tiếp tục quá trình đó, ta được một dãy các hình vuông (Hình 3). Tính tổng diện tích các hình vuông này.

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số - Chân trời sáng tạo

Bài 12 trang 77 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác OMN vuông cân tại O, OM= ON = 1. Trong tam giác OMN, vẽ hình vuông OA₁B₁C₁ sao cho các đỉnh A₁, B₁, C₁ lần lượt nằm trên các cạnh OM, MN, ON. Trong tam giác A₁MB₁, vẽ hình vuông A₁A₂B₂C₂ sao cho các đỉnh A₂, B₂, C₂ lần lượt nằm trên các cạnh A₁M, MB₁, A₁B₁. Tiếp tục quá trình đó, ta được một dãy các hình vuông (Hình 3). Tính tổng diện tích các hình vuông này.

Lời giải:

Cho tam giác OMN vuông cân tại O, OM= ON = 1. Trong tam giác OMN, vẽ hình vuông OA1B1C1

Độ dài cạnh của các hình vuông lần lượt là

$a_{1} = \frac{1}{2}; a_{2} = \frac{1}{2} a_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}; a_{3} = \frac{1}{2} a_{2} = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{3}; \dots$

Diện tích của các hình vuông lần lượt là

$S_{1} = a_{1}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4},$

$S_{2} = a_{2}^{2} = {[{(\frac{1}{2})}^{2}]}^{2} = {(\frac{1}{4})}^{2},$

$S_{3} = a_{3}^{2} = {[{(\frac{1}{2})}^{3}]}^{2} = {[{(\frac{1}{2})}^{2}]}^{3} = {(\frac{1}{4})}^{3}, \dots$

Các diện tích S₁, S₂, S₃,... tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là $S_{1} = \frac{1}{4}$ và công bội bằng $\frac{1}{4}$ .

Do đó, tổng diện tích các hình vuông là $S = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}$ .

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯