Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số:

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số - Chân trời sáng tạo

Bài 9 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số:

a) 0,(7) = 0,777...; b) 1,(45) = 1,454545...

Lời giải:

a) 0,(7) = 0,777...

= 0,7 + 0,07 + 0,007 + 0,0007 + 0,00007...

$= 0,7 + 0,7 \cdot \frac{1}{10} + 0,7 \cdot \frac{1}{10^{2}} + 0,7 \cdot \frac{1}{10^{3}} ...$

Đây là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁ = 0,7 và công bội $q = \frac{1}{10}$ thõa mãn |q| < 1.

Tổng này bằng $\frac{0,7}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{0,7}{0,9} = \frac{7}{9} .$

Vậy $0, (7) = 0,777... = \frac{7}{9} .$

b) 1,(45) = 1,454545... = 1 + 0,454545…

Ta có 0,454545... = 0,45 + 0,0045 + 0,000045 + …

$= 0,45 + 0,45 \cdot \frac{1}{100} + 0,45 \cdot \frac{1}{100^{2}} + ...$

Đây là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁ = 0,45 và công bội $q = \frac{1}{100}$ thõa mãn |q| < 1.

Tổng này bằng $\frac{0,45}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{0,45}{0,99} = \frac{45}{99} = \frac{5}{11} .$

Vậy $1, (45) = 1,454545... = 1 + \frac{5}{11} = \frac{16}{11} .$

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số hay khác: