Tuỳ theo giá trị của a > 0, tìm giới hạn

Tuỳ theo giá trị của a > 0, tìm giới hạn .

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số - Chân trời sáng tạo

Bài 7 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Tuỳ theo giá trị của a > 0, tìm giới hạn $lim \frac{a^{n}}{a^{n} + 1}$ .

Lời giải:

⦁ Nếu 0 < a < 1 thì limaⁿ = 0 nên $lim \frac{a^{n}}{a^{n} + 1} = \frac{lim a^{n}}{lim a^{n} + 1} = \frac{0}{0 + 1} = 0.$

⦁ Nếu a = 1 thì $lim \frac{a^{n}}{a^{n} + 1} = lim \frac{1^{n}}{1^{n} + 1} = lim \frac{1}{1 + 1} = lim \frac{1}{2} = \frac{1}{2} .$

⦁ Nếu a > 1, ta viết $\frac{a^{n}}{a^{n} + 1} = \frac{1}{1 + {(\frac{1}{a})}^{n}}$ (chia cả tử và mẫu cho aⁿ)

Do a > 1 nên $0 < \frac{1}{a} < 1$ , suy ra $lim {(\frac{1}{a})}^{n} = 0$ . Từ đó,

$lim \frac{a^{n}}{a^{n} + 1} = lim \frac{1}{1 + {(\frac{1}{a})}^{n}} = \frac{1}{1 + lim {(\frac{1}{a})}^{n}} = \frac{1}{1 + 0} = 1.$

Vậy $lim \frac{a^{n}}{a^{n} + 1}$ bằng 0 nếu 0 < a < 1; bằng $\frac{1}{2}$ nếu a = 1; bằng 1 nếu a > 1.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số hay khác: