Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đường thẳng d: x + y = 2 cắt trục hoành tại điểm A và cắt đường thẳng

❮ Bài trước Bài sau ❯

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đường thẳng d: x + y = 2 cắt trục hoành tại điểm A và cắt đường thẳng tại điểm Pn (n ∈ ℕ*). Kí hiệu S là diện tích của tam giác OAP. Tìm limS.

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số - Chân trời sáng tạo

Bài 13 trang 77 SBT Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đường thẳng d: x + y = 2 cắt trục hoành tại điểm A và cắt đường thẳng $d_{n} : y = \frac{2 n + 1}{n} x$ tại điểm Pn (n ∈ ℕ*). Kí hiệu S_n là diện tích của tam giác OAP_n. Tìm limS_n.

Lời giải:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đường thẳng d: x + y = 2 cắt trục hoành tại điểm A và cắt đường thẳng

Ta có: A(2; 0) nên OA = 2.

Đường thẳng d: x + y = 2 ⇔ y = 2 – x nên $\tan \hat{O A P_{n}} = |- 1| = 1 \Rightarrow \hat{O A P_{n}} = 45 °$

P_n(x₀; y₀) ∈ d nên P_n(x₀; 2 – x₀)

P_n(x₀; y₀) ∈ d_n nên ta có:

$y_{0} = \frac{2 n + 1}{n} x_{0} \Leftrightarrow 2 - x_{0} = \frac{2 n + 1}{n} x_{0} \Leftrightarrow \frac{3 n + 1}{n} x_{0} = 2$

$\Leftrightarrow x_{0} = \frac{2 n}{3 n + 1} \Rightarrow y_{0} = 2 - \frac{2 n}{3 n + 1} = \frac{4 n + 2}{3 n + 1}$

$\Rightarrow P_{n} (\frac{2 n}{3 n + 1}; \frac{4 n + 2}{3 n + 1})$

Gọi H là hình chiếu của P_n lên Ox. Khi đó $P_{n} H = |y_{0}| = \frac{4 n + 2}{3 n + 1}$

$\Rightarrow A P_{n} = \frac{P_{n} H}{\sin 45 °} = \frac{4 n + 2}{3 n + 1} : \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4 n + 2}{3 n + 1} \cdot \sqrt{2}$

Ta có $S_{n} = \frac{1}{2} O A \cdot A P_{n} \cdot sin \hat{O A P_{n}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{4 n + 2}{3 n + 1} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4 n + 2}{3 n + 1} .$

Khi đó $lim S_{n} = lim \frac{4 n + 2}{3 n + 1} = lim \frac{4 + \frac{2}{n}}{3 + \frac{1}{n}} = \frac{4}{3} .$

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯