Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng?

Trong các dãy số (u) cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào là dãy số tăng?

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 - Chân trời sáng tạo

Câu 3 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào là dãy số tăng?

A. $u_{n} = \frac{1}{2^{n}}$

B. $u_{n} = \frac{1}{n}$

C. $u_{n} = \frac{n + 5}{3 n + 1}$

D. $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

⦁ Xét (u_n) với $u_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ có $u_{n + 1} = \frac{1}{2^{n + 1}}$ , suy ra $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{1}{2^{n + 1}} : \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2} < 1$

Do đó u_n+1 < u_n nên dãy số này giảm.

⦁ Xét (u_n) với $u_{n} = \frac{1}{n}$ có $u_{n + 1} = \frac{1}{n + 1}$ , suy ra $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{1}{n + 1} : \frac{1}{n} = \frac{n}{n + 1} < 1.$

Do đó u_n+1 < u_n nên dãy số này giảm.

⦁ Xét (u_n) với $u_{n} = \frac{n + 5}{3 n + 1}$ có $u_{n + 1} = \frac{n + 1 + 5}{3 (n + 1) + 1} = \frac{n + 6}{3 n + 4}$

Suy ra $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 6}{3 n + 4} - \frac{n + 5}{3 n + 1} = \frac{(n + 6) (3 n + 1) - (3 n + 4) (n + 5)}{(3 n + 4) (3 n + 1)}$

$= \frac{3 n^{2} + 19 n + 6 - (3 n^{2} + 19 n + 20)}{(3 n + 4) (3 n + 1)} = \frac{- 14}{(3 n + 4) (3 n + 1)} < 0$

Do đó u_n+1 < u_n nên dãy số này giảm.

⦁ Xét (u_n) với $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1}$ có $u_{n + 1} = \frac{2 (n + 1) - 1}{(n + 1) + 1} = \frac{2 n + 1}{n + 2}$

Suy ra $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 2} - \frac{2 n - 1}{n + 1} = \frac{(2 n + 1) (n + 1) - (2 n - 1) (n + 2)}{(n + 1) (n + 2)}$

$= \frac{2 n^{2} + 3 n + 1 - (2 n^{2} + 3 n - 2)}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{3}{(n + 1) (n + 2)} > 0$

Do đó u_n+1 > u_n nên dãy số này tăng.

Vậy $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1}$ là dãy số tăng.

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2 hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯