Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi. Đồ thị của hàm số y = 3x(2 – x), trục hoành với hai đường thẳng x = −1, x = 1

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 1 trang 20 SBT Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a) Đồ thị của hàm số y = 3x(2 – x), trục hoành với hai đường thẳng x = −1, x = 1.

b) Đồ thị của hàm số $y = \frac{4 - x}{x}$ , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2.

c) Đồ thị của hàm số y = x³ – x² , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Lời giải:

a) Diện tích hình phẳng cần tìm là: $S = \int_{- 1}^{1} |3 x (2 - x)| d x = \int_{- 1}^{1} |6 x - 3 x^{2}| d x$

Ta có: 3x(2 – x) = 0 khi x = 2 hoặc x = 0.

Phương trình chỉ có nghiệm x = 0 thuộc đoạn [−1; 1].

Do đó, $S = \int_{- 1}^{1} |6 x - 3 x^{2}| d x$

$= |\int_{- 1}^{0} (6 x - 3 x^{2}) d x| + |\int_{- 1}^{0} (6 x - 3 x^{2}) d x|$

$= |{(3 x^{2} - x^{3})|}_{- 1}^{0}| + |{(3 x^{2} - x^{3})|}_{0}^{1}|$

= 4 + 2 = 6.

b) Ta có $y = \frac{4 - x}{x}$ > 0 với mọi x ∈ [1; 2].

Do đó diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S = \int_{1}^{2} |\frac{4 - x}{x}| d x = \int_{1}^{2} (\frac{4 - x}{x}) d x$

$= \int_{1}^{2} (\frac{4}{x} - 1) d x = {(4 \ln |x| - x)|}_{1}^{2}$

= 4ln2 – 1.

c) Ta có: x³ – x² = 0 ⇔ x²(x – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

Với x ∈ [0; 1] thì y ≤ 0; với x ∈ [1; 2] thì y ≥ 0.

Do đó, diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S = \int_{0}^{2} |x^{3} - x^{2}| d x$

$= \int_{0}^{1} (x^{2} - x^{3}) d x + \int_{1}^{2} (x^{3} - x^{2}) d x$

$= {(\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4})|}_{0}^{1} + {(- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{4}}{4})|}_{1}^{2}$

$= \frac{1}{12} + \frac{17}{12} = \frac{3}{2} .$

Lời giải SBT Toán 12 Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân hay khác: