Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có đường trung tuyến xuất phát từ A bằng một nửa cạnh BC

Giải SBT Toán 7 Kết nối tri thức Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 15 trang 71 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2:

a) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có đường trung tuyến xuất phát từ A bằng một nửa cạnh BC thì tam giác đó vuông tại đỉnh A.

b) Cho đoạn thẳng AB. Hãy nêu một cách sử dụng kết quả của câu a để vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại A (bằng thước và compa).

Lời giải:

a) Xem hình bên :

Theo giả thiết, ta có ΔMAB và ΔMAC là hai tam giác cân đỉnh M.

Từ đó suy ra: ${\hat{B}}_1={\hat{A}}_1$ và ${\hat{C}}_1={\hat{A}}_2$

Mặt khác, tổng các góc trong tam giác ABC bằng 180^o nên:

${180}^o={\hat{B}}_1+{\hat{A}}_1+{\hat{C}}_1+{\hat{A}}_1=2({\hat{A}}_1+{\hat{A}}_2)$

Từ đó suy ra ${\hat{A}}_1+{\hat{A}}_2={90}^o$

Do đó tam giác ABC vuông tại A.

Vậy nếu tam giác ABC có đường trung tuyến xuất phát từ A bằng một nửa cạnh BC thì tam giác đó vuông tại đỉnh A.

b) Vẽ tam giác cân MAB rồi kéo dài BM về phía M đến điểm C sao cho MC = BM.

Ta có AM = MC = MB (gt)

Suy ra AM =$\frac{1}{2}$(MC + MB) = $\frac{1}{2}$BC .

Xét tam giác ABC có:

AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của BC);

AM =$\frac{1}{2}$BC (cmt).

Suy ra tam giác ABC vuông tại A (đã chứng minh ở câu a).

Vậy ta đã vẽ được đường thẳng AC vuông góc với AB tại A.