Tìm các giá trị của a sao cho với mọi x, ta luôn có

Tìm các giá trị của a sao cho với mọi x, ta luôn có: −1 ≤ $\frac{x^2+5x+a}{2x^2-3x+2}$< 7.

Đáp án đúng là: A

Vì 2x² – 3x + 3 > 0, "x $\in$ ℝ (do a = 3 > 0, ∆ = −15 < 0)

Nên:

−1 ≤ $\frac{x^2+5x+a}{2x^2-3x+2}$< 7

$\iff$ −2x² + 3x – 2 ≤ x² + 5x + a < 7(2x² – 3x + 2)

$\iff$$\left\{\begin{array}{c}-2x^2+3x-2\le x^2+5x+a\\ x^2+5x+a<14x^2-21x+14\end{array}\right.$

$\iff$$\left\{\begin{array}{c}3x^2+2x+a+2\ge 0\left(1\right)\\ 13x^2-26x-a+14>0\left(2\right)\end{array}\right.$

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x $\iff$ Hệ trên nghiệm đúng với mọi x

VT (1) = 3x² + 2x + a + 2 ≥ 0, "x

$\iff$$\left\{\begin{array}{c}3>0\\ \Delta {\text{'}}_{\left(1\right)}=1-3(a+2)\le 0\end{array}\right.$

$\iff$ −5 − 3a ≤ 0 Û a ≥ $\frac{-5}{3}$ (3)

VT (2) = 13x² – 26x – a + 14 > 0, "x

$\iff$$\left\{\begin{array}{c}13>0\\ \Delta {\text{'}}_{\left(2\right)}={13}^2-13(-a+14)<0\end{array}\right.$

$\iff$ −13 + 13a < 0 Û a < 1 (4)

Từ (3) và (4) ta được $\frac{-5}{3}$≤ a < 1.