Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4, BC = 6. M là trung điểm của BC, N là điểm trên cạnh
Câu hỏi:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4, BC = 6. M là trung điểm của BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho ND = 3NC. Khi đó bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN bằng:
A. 3√5;
B. 3√52
C. 5√2;
D. 5√22
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = 3.
Vì ND = 3NC nên NC = 1 và ND = 3.
Tam giác CMN vuông tại C theo định lí Py – ta – go có:
MN2 = MC2 + NC2 = 32 + 12 = 10 ⇒MN=√10.
Tam giác AND vuông tại D theo định lí Py – ta – go có:
AN2 = AD2 + DN2 = 62 + 32 = 45 ⇒AN=3√5.
Tam giác ABM vuông tại B theo định lí Py – ta – go ta có:
AM2 = AB2 + BM2 = 42 + 32 = 25 Þ AM = 5.
Nửa chu vi của tam giác AMN là: p=AM+AN+MN2=5+3√5+√102
Diện tích tam giác AMN theo công thức Heron là:
S=√p(p−AM)(p−AN)(p−MN)=7,5 (đơn vị diện tích)
Mặt khác S=AM.AN.MN4R⇒R=AM.AN.MN4S
⇒R=5.3√5.√104.7,5=5√22.
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN bằng 5√22.