Cho tam giác ABC đều, ABC có độ dài cạnh bằng 1. Dựng ra phía ngoài tam giác

Câu hỏi:

A. $\frac{12+3\sqrt{3}}{4};$

B. $\frac{9}{2}$

C. $3+\sqrt{3};$

D. $\frac{6+3\sqrt{3}}{2}.$

Trả lời:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

- Tam giác ABC là tam giác đều nên $\widehat{BAC}=60°$ 

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\mathrm{.1.1.}\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{4}$ (đơn vị diện tích).

- Hình vuông ABDE có cạnh AB = 1 nên có diện tích là: S_ABDE = 1² = 1 (đơn vị diện tích).

Tương tự S_BCMN = 1 (đơn vị diện tích) và S_CAHK = 1 (đơn vị diện tích).

- Tam giác AEH có:

$\widehat{EAH}=360°-\widehat{EAB}-\widehat{BAC}-\widehat{CAF}=360°-90°-60°-90°=120°.$ 

Diện tích tam giác AEH là:

$S_{AEH}=\frac{1}{2}.AE.AH.\sin \widehat{EAH}=\frac{1}{2}\mathrm{.1.1.}\sin 120°=\frac{\sqrt{3}}{4}$ (đơn vị diện tích).

Tương tự ta có: $S_{BDN}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ (đơn vị diện tích) và $S_{CKM}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ (đơn vị diện tích)

Do đó diện tích của lục giác DEHKMN là:

S_DEHKMN = S_ABC + 3.S_ABDE + 3.S_AEH

$\Rightarrow S_{DEHKMN}=\frac{\sqrt{3}}{4}+3.1+3.\frac{\sqrt{3}}{4}=3+\sqrt{3}$ (đơn vị diện tích).

Vậy $S_{DEHKMN}=3+\sqrt{3}$ (đơn vị diện tích).