X

Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo

Dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo


Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 1: Dãy số sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Dãy số

1. Dãy số là gì?

1.1. Dãy số vô hạn

- Hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương ℕ* được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số), nghĩa là

u:

nun=un.

- Ta có thể kí hiệu dãy số trên là (un), và (un) được viết dưới dạng khai triển là: u1, u2, u3,...., un,....

- Số u1 được gọi là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý:

• Số u1 = u(1) được gọi là số hạng đầu, un = u(n) là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số.

• Nếu ∀n ∈ ℕ*, un = C thì (un) được gọi là dãy số không đổi.

Ví dụ:

+ Dãy số (un) bao gồm các số nguyên dương chia hết cho 3: 3; 6; 9; 12; ...

Ta có: dãy (un) có số hạng đầu u1 = 3 và số hạng tổng quát un = 3n.

1.2. Dãy số hữu hạn

- Hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3; ...; m} với ∀m ∈ ℕ* được gọi là một dãy số hữu hạn.

- Dãy số hữu hạn được khai triển dưới dạng u1, u2, u3,...., um. Trong đó, u1 được gọi là số hạng đầu, um được gọi là số hạng cuối.

Ví dụ:

+ Dãy số (un) bao gồm các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10, sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn.

Ta có: các số hạng của dãy số (un) là: 2; 4; 6; 8. Số hạng đầu của dãy số này là 2 và số hạng cuối của dãy số là 8.

2. Cách xác định dãy số

Một dãy số có thể được cho bằng các cách sau:

Cách 1: Liệt kê các số hạng (với các dãy số hữu hạn).

Cách 2: Cho công thức của số hạng tổng quát un.

Cách 3: Cho hệ thức truy hồi, nghĩa là:

• Cho số hạng thứ nhất u1 (hoặc một vài số hạng đầu tiên).

• Cho một công thức tính un theo un – 1 (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).

Cách 4: Cho bằng cách mô tả.

Ví dụ:

+ Liệt kê các số hạng:

Cho dãy số (un) gồm tất cả các số lẻ lớn hơn 12: 13; 15; 17; ...

+ Công thức của số hạng tổng quát:

Cho công thức của số hạng tổng quát: un = 3n – 1.

+ Hệ thức truy hồi:

Cho dãy số (un) xác định bằng hệ thức truy hỏi: u1 = 2, un = 5un – 1 + 1 với n ≥ 2.

+ Phương pháp mô tả:

Cho dãy số (un) gồm tất cả các số nguyên tố theo thứ tự giảm dần.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

- Dãy số (un) là dãy số tăng nếu un + 1 > un với mọi n ∈ ℕ*.

- Dãy số (un) là dãy số giảm nếu un + 1 < un với mọi n ∈ ℕ*.

Ví dụ: Cho dãy số (un) với un = −5n + 3.

Ta có: un + 1 – un = −5(n + 1) + 3 – (−5n + 3)

= −5n − 5 + 3 + 5n − 15 = −17 < 0 (tức là un + 1 < un, ∀n ∈ ℕ*).

Vậy (un) là dãy số giảm.

4. Dãy số bị chặn

- Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

un ≤ M, ∀n ∈ ℕ*.

- Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số M sao cho

un ≥ M, ∀n ∈ ℕ*.

- Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số m và M sao cho

M ≤ un ≤ M, ∀n ∈ ℕ*.

Ví dụ: Cho dãy số (un) với un = n – 2.

Dãy số (un) bị chặn dưới, vì un = n – 2 > −2, ∀n ∈ ℕ*.

Bài tập Dãy số

Bài 1. Cho dãy số (un) được xác định bởi un=n+12n với n ∈ ℕ*.

a) Liệt kê 3 số hạng đầu của dãy số (un).

b) Xét tính tăng, giảm của dãy số (un).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: u1=1+121=1,  u2=2+122=34,  u3=3+123=12.

b) Ta có: un+1un=n+1+12n+1n+12n

=n+22.2nn+12n=n+22n22.2n=n2n+1<0

⇔ un + 1 < un.

Vậy (un) là dãy số giảm.

Bài 2. Xét tính bị chặn của dãy số sau: un = 4 – 3n – n2.

Hướng dẫn giải

Dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Ta có: un + 1 – un = 4 – 3(n + 1) – (n + 1)2 – (4 – 3n – n2)

= 4 – 3n – 3 – n2 – 2n – 1 – 4 + 3n + n2

= − 2n − 4

⇔ un + 1 < un.

⇒ (un) là dãy số giảm, tức là n càng tăng thì un càng giảm ⇒ (un) không bị chặn dưới.

Vậy (un) là dãy số bị chặn trên.

Bài 3. Cho dãy số (un) bởi hệ thức truy hồi: u1=12,  un+1=2un. Tìm ra công thức số hạng tổng quát của dãy số này.

Hướng dẫn giải

Ta có: u1=12=21;  u2=1=20;  u3=2=21;  u4=4=22.

Ta nhận thấy u1 = 21 – 2; u2 = 22 – 2; u3 = 23 – 2; u4 = 24 – 2.

Vậy công thức số hạng tổng quát của dãy số (un) là un = 2n – 2.

Bài 4. Cho dãy số (un), biết un=n+12n+1. Số 815 là số hạng thứ mấy của dãy số?

A. 8;                               

B. 6;                                

C. 5;                                

D. 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta cần tìm n sao cho un=n+12n+1=81515n+15=16n+8n=7.

Học tốt Dãy số

Các bài học để học tốt Dãy số Toán lớp 11 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay khác: