X

Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo

Hàm số liên tục (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo


Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Hàm số liên tục (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Hàm số liên tục

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 K.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếulimxx0f(x) = f(x0) .

Nhận xét: Để hàm số y = f(x) liên tục tại x0 thì phải có cả ba điều sau:

• Hàm số xác định tại x0;

• Tồn tại limxx0f(x) ;

limxx0 f(x) = f(x0) .

Chú ý: Khi hàm số y = f(x) không liên tục tại điểm x0 thì ta nói f (x) gián đoạn tại điểm  x0 và x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f (x).

Hàm số liên tục (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Hướng dẫn giải

Ta có:

Hàm số liên tục (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

limx1+f(x) = limx1f(x) = f(1)nên hàm số trên liên tục tại điểm x = 1.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b).

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu f(x) liên tục tại mọi điểm trong khoảng ấy.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a; b].

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và limxa+f(x) = f(a), limxbf(x) = f(b).

Nhận xét: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì luôn tồn tại ít nhất một điểm c (a; b) sao cho f (c) = 0.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số y=x+2+2x  trên [−2; 2].

Hướng dẫn giải

Với mọi  x0(-2; 2), ta có:

Hàm số liên tục (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Do đó f (x) liên tục tại mọi điểm x0(-2; 2)

Ta lại có:

Hàm số liên tục (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Vậy hàm số y=x+2+2x  liên tục trên đoạn [−2; 2].

3. Tính liên tục của hàm số sơ cấp

• Hàm số đa thức y = P (x)  , các hàm số lượng giác y = sin x, y = cos x liên tục trên ℝ.

• Hàm số phân thức y = P (x)Q (x), hàm số căn thức y = P(x), các hàm số lượng giác y=tanx,y=cotx  liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng.

Trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức.

Nhận xét: Hàm số thuộc những loại trên được gọi chung là hàm số sơ cấp.

Sau đây, khi nói xét tính liên tục của một hàm số mà không nói gì thêm thì ta xét tính liên tục của hàm số đó trên những khoảng xác định của nó.

Ví dụ: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) y = 2x3 + 3x2 – 2;

b) y=x2+x+1x2 .

Hướng dẫn giải

a) y = 2x3 + 3x2 – 2 là hàm số đa thức nên nó liên tục trên ℝ.

b) y=x2+x+1x2  là hàm số phân thức, có tập xác định (–∞; 2) ∪ (2; +∞) nên nó liên tục trên các khoảng (–∞; 2) và (2; +∞).

4. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục

Cho hai hàm số số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:

• Các hàm số y = f(x) + g(x); y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x0.

• Hàm số y = f(x)g(x) liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số y=x2x4 .

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số: D = (4; +∞).

Các hàm số y = x – 2 và y=x4  liên tục tại mọi điểm x0 ∈ D.

Do đó, hàm số y=x2x4  liên tục trên khoảng (4; +∞).

Bài tập Hàm số liên tục

Bài 1. Tìm giá trị m để hàm số sau đây liên tục trên tập xác định:

Hàm số liên tục (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Xét trường hợp x ≠ 1, hàm số có dạng f(x) = x23x+2x1, là hàm số phân thức trên tập xác định (–∞; 1) ∪ (1; +∞) nên nó liên tục trên các khoảng (–∞; 1) và (1; +∞).

Xét trường hợp x = 1, ta có:

Hàm số liên tục (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

• f(1) = 2m. 1+1= 2m +1

Khi đó, để hàm f (x) liên tục tại điểm x0 = 1 thì:

limx1f(x) = f(1)2m+1= -1m = - 1

Vậy m = −1 là giá trị của tham số m cần tìm.

Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số sau đây tại điểm x = 3.

Hàm số liên tục (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Hướng dẫn giải

Ta có:

• limx3+f(x) = limx3+3 = 3

Hàm số liên tục (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Do limx3+f(x) limx3f(x) (3 5) nên hàm số gián đoạn tại điểm x = 3.

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình 3x3 + x2 – x – 1 có nghiệm trong khoảng (−1; 1).

Hướng dẫn giải

Hàm số f(x) = 3x3 + x2 – x – 1 là một hàm số đa thức, nên f (x) liên tục trên ℝ.

Suy ra, f (x) cũng liên tục trên đoạn [−1; 1].

Ta có:

• f(–1) = 3 . (–1)3 + (–1)2 – (–1) – 1 = –3 + 1 + 1 – 1 = –2;

• f(1) = 3 . 13 + 12 – 1 – 1 = 3 + 1 – 1 – 1 = 2.

Suy ra f(–1) . f(1) = (–2) . 2 = – 4 < 0.

Do vậy, có ít nhất một nghiệm c (−1; 1) sao cho f (c) = 0.

Vậy phương trình 3x3 + x2 – x – 1 có nghiệm trong khoảng (−1; 1).

Học tốt Hàm số liên tục

Các bài học để học tốt Hàm số liên tục Toán lớp 11 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay khác: