X

Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo

Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo


Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Giới hạn của hàm số

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Cho điểm x0 thuộc K và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc K \ {x0}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn hữu hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K \ {x0} và xn → x0, thì f(xn) → L.

Kí hiệu:  hay f(x) → L khi x → x0.

Ví dụ: Cho hàm số f(x) = x31x1. Tìm limx1fx .

Hướng dẫn giải

Hàm số y = f(x) xác định trên ℝ \ {1}.

Giả sử (xn) là dãy số bất kì thỏa mãn xn ≠ 1 với mọi n và xn → 1 khi n → +∞.

Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Vậy limx1fx=3.

Nhận xét:

limxx0x=x0 ;

limxx0c=c  (c là hằng số).

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

a) Cho limxx0f(x) = L và  limxx0g(x) = M. Khi đó:

• limxx0[ f(x) + g(x)] = L + M

• limxx0[ f(x) - g(x)] = L - M

• limxx0[ f(x) . g(x)] = L . M

Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

b) Nếu f(x) ≥ 0 và limxx0f(x) = L thì L ≥ 0 và limxx0f(x)=L

(Dấu của f (x) được xét trên khoảng tìm giới hạn, x ≠ x0).

Nhận xét:

limxx0xk=x0k , k là số nguyên dương;

limxx0[cf(x) = c limxx0 f(x)  ( c, nếu tồn tại limxx0f(x) ) .

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a) limx12x2+4x5 ;                          

b) limx22x+53x2 .

Hướng dẫn giải

a) limx12x2+4x5=limx12x2+limx14xlimx15

=2limx1x2+4limx1xlimx15=2.12+4.15=7.

b) limx22x+53x2

Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

=limx222x+5+3

=22.2+5+3=13.

3. Giới hạn một phía

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b).

• Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là +∞ khi x → x0 về bên phải nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, thì f(xn) → +∞.

Kí hiệu: limxx0+f(x) = +∞ hay f(x) → +∞ khi xx0+ .

• Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là −∞ khi x → x0 về bên phải nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và x → x0, thì f(xn) → −∞..

Kí hiệu: limxx0+f(x) = −∞  hay f(x) → -∞  khi xx0+ .

Chú ý:

a) Các giới hạn  limxx0-f(x) = +∞, limxx0- f(x) = -∞,  limx+f(x) = +∞, limx+f(x) = -∞, limxf(x) = +∞,limxf(x) = -∞ được định nghĩa tương tự như trên.

b) Ta có các giới hạn thường dùng sau:

limxa+1xa=+  và limxa1xa= (a) ;

limx+xk=+  với k là nguyên dương;

limxxk=+  nếu k là số nguyên dương chẵn;

limxxk=  nếu k là số nguyên dương lẻ.

c) Các phép toán trên giới hạn hàm số của Mục 2 chỉ áp dụng được khi tất cả các hàm số được xét có giới hạn hữu hạn. Với giới hạn vô cực, ta có một số quy tắc sau đây.

Nếu limxx0+f(x) = L0  limxx0+g(x) = +∞ (hoặc limxx0+g(x) = -∞ )  thì limxx0+[(f(x) . g(x)]  được tính theo quy tắc cho bởi bảng sau:

Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay x0+  thành x0  (hoặc +∞, −∞).

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a) limx3+23xx+3 ;

b) limx(x3+2).

Hướng dẫn giải

Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Bài tập Giới hạn của hàm số

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a) limx24x4xx24 ;

b) limx13x23x3x+12 .

Hướng dẫn giải

Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Bài 2. Tìm các giới hạn sau:

a) A = limx+x(4x2+92x);

b) B = limx(x22x+2x).

Hướng dẫn giải

Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

=limx2+2x12x+2x21=+

Bài 3. Chứng minh không tồn tại giới hạn của hàm số f(x) = sin1x khi x tiến tới 0.

Hướng dẫn giải

Xét hai dãy số xn=12nπ;yn=1π2+2nπ

Suy ra  limxn=lim12nπ=12πlim1n=12π.0=0

Và limyn=lim1π2+2nπ=1π2+2πlimn=0

Khi đó ta xét:

• lim f(xn) = limsin (2nπ) = 0;

• lim f (yn) = limsin (π2+2nπ) = 1.

Do lim f(xn lim f (yn) (0 1) nên hàm số f(x) = sin1x  không tồn tại giới hạn khi x tiến tới 0.

Học tốt Giới hạn của hàm số

Các bài học để học tốt Giới hạn của hàm số Toán lớp 11 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay khác: