Cấp số cộng (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Cấp số cộng (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Cấp số cộng

1. Cấp số cộng

- Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, nghĩa là:

u_{n + 1} = u_n + d với n ∈ ℕ*.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Ví dụ: Cho cấp số cộng: $-\frac{1}{2};0;\frac{1}{2};\frac{3}{2};\mathrm{...}$ Tìm số hạng đầu, công sai và u₅.

Hướng dẫn giải

Cấp số cộng đã cho có số hạng đầu $u_1=-\frac{1}{2}$; công sai $d=\frac{1}{2}$.

Ta có $u_4=\frac{3}{2}$ nên $u_5=u_4+d=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2.$

2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Định lí 1: Nếu một cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d thì số hạng tổng quát u_n của nó được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ + (n – 1)d, n ≥ 2.

Ví dụ: Cho một cấp số cộng có u₁ = −3; u₆ = 27.

Hướng dẫn giải

Ta có: u₆ = u₁ + (6 – 1)d = 27

⇔ −3 + 5d = 27 ⇔ 5d = 30 ⇔ d = 6.

3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Định lí 2: Giả sử (u_n) là một cấp số cộng có công sai d. Đặt S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n, khi đó

Ví dụ: Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = −3; d = 2.

Vậy tổng của 5 số hạng đầu tiên của dãy số (u_n) là 5.

Bài tập Cấp số cộng

Bài 1. Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 321 và u_{n + 1} = u_n – 3, ∀n ∈ ℕ*. Số 99 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số?

A. 72;

B. 73;

C. 74;

D. 75.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: u_{n + 1} = u_n – 3 ⇒ u_{n + 1} − u_n = −3 ⇒ d = −3.

u_n = u₁ + (n – 1)d = 321 + (n – 1)(−3) = −3n + 324.

Ta có: u_n = 99 ⇒ −3n + 324 = 99

⇒ −3n = −225 ⇒ n = 75.

Vậy 99 là số hạng thứ 75 trong dãy số.

Bài 2. Cho cấp số cộng (u_n) có u₂ = 2017 và u₃ = 1945. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng đã cho bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ta có u₃ – u₂ = 1945 – 2017 = –72 ⇒ d = −72.

⇒ u₁ = u₂ − d = 2017 + 72 = 2089.

u₆ = u₁ + 5d = 2089 + 5.(−72) = 1729.

Vậy số hạng thứ 6 của cấp số cộng đã cho là 1729.

Bài 3. Cho cấp số cộng (u_n) có $u_1=\frac{1}{3},u_8=26$ . Tìm d và xác định công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho.

Hướng dẫn giải

Ta có <$u_8=u_1+7d \iff 26=\frac{1}{3}+7d$ 

$\iff 7d=\frac{77}{3}$$\iff d=\frac{11}{3}.$

Vậy công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) là $u_n=u_1+\frac{11}{3}\left(\mathrm{(n}–\mathrm{1)}\right)$

Học tốt Cấp số cộng

Các bài học để học tốt Cấp số cộng Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng