X

Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo


Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết với bài tập có lời giải sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Chương 3.

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết tổng hợp Toán 11 Chương 3

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1.1. Giới hạn 0 của dãy số

Ta nói (un) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| nhỏ hơn một số dương bé tùy ý cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: limn+un=0  hay un0  khi n+

Một vài giới hạn đặc biệt:

lim1nk=0 , với k nguyên dương bất kì.

• lim qn = 0, với q là số thực thỏa mãn |q| < 1.

1.2. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số có giới hạn hữu hạn là số a (hay un dần tới a) khi n dần tới dương vô cực, nếu lim (un – a) = 0.

Kí hiệu: limn+un=a  hay lim un = a khi n → +∞.

Chú ý: Nếu un = c (c là hằng số) thì limun=limc=c

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số

Cho lim un = a, lim vn = b và c là hằng số. Khi đó:

lim (un + vn) = a + b                        

lim (un – vn) = a – b

lim (c.un) = c . a                               

lim (un.un) = a . b

 limunvn=ab (b0 )                         

• Nếu un0,n*  thì a0  và limun=a

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q thõa mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Cấp số nhân lùi vô hạn nàu có tổng là:

S=u1+u2+...+un+...=u11q.

4. Giới hạn vô cực

• Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim un = + ∞ hay un → +∞ khi n → +∞.

• Dãy số (un) có giới hạn là −∞ khi n → +∞, nếu lim un = + ∞.

Kí hiệu: lim un = − ∞ hay un → −∞ khi n → +∞.

Chú ý:

lim un = + ∞ ⇔ lim (−un) = − ∞;

Nếu lim un = + ∞ hoặc lim un = − ∞ thì lim1un=0 ;

Nếu lim un = 0 và un > 0 với mọi n thì lim1un=+ .

Nhận xét:

limnk=+ (k,k1);

limqn=+(q > 1).

5. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Cho điểm x0 thuộc K và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc K \ {x0}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn hữu hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K \ {x0} và xn → x0, thì f(xn) → L.

Kí hiệu:  hay f(x) → L khi x → x0.

Nhận xét:

limxx0x=x0 ;

limxx0c=c  (c là hằng số).

6. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

a) Cho limxx0f(x) = L và  limxx0g(x) = M. Khi đó:

• limxx0[ f(x) + g(x)] = L + M

• limxx0[ f(x) - g(x)] = L - M

• limxx0[ f(x) . g(x)] = L . M

limxx0f(x)g(x)= LM (với M ≠ 0)

b) Nếu f(x) ≥ 0 và limxx0f(x) = L thì L ≥ 0 và limxx0f(x)=L

(Dấu của f (x) được xét trên khoảng tìm giới hạn, x ≠ x0).

Nhận xét:

limxx0xk=x0k , k là số nguyên dương;

limxx0[cf(x) = c limxx0 f(x)  ( c, nếu tồn tại limxx0f(x) ) .

3. Giới hạn một phía

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b).

• Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là +∞ khi x → x0 về bên phải nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, thì f(xn) → +∞.

Kí hiệu: limxx0+f(x) = +∞ hay f(x) → +∞ khi xx0+ .

• Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là −∞ khi x → x0 về bên phải nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và x → x0, thì f(xn) → −∞..

Kí hiệu: limxx0+f(x) = −∞  hay f(x) → -∞  khi xx0+ .

Chú ý:

a) Các giới hạn  limxx0-f(x) = +∞, limxx0- f(x) = -∞,  limx+f(x) = +∞, limx+f(x) = -∞, limxf(x) = +∞,limxf(x) = -∞ được định nghĩa tương tự như trên.

b) Ta có các giới hạn thường dùng sau:

limxa+1xa=+  và limxa1xa= (a) ;

limx+xk=+  với k là nguyên dương;

limxxk=+  nếu k là số nguyên dương chẵn;

limxxk=  nếu k là số nguyên dương lẻ.

c) Các phép toán trên giới hạn hàm số của Mục 2 chỉ áp dụng được khi tất cả các hàm số được xét có giới hạn hữu hạn. Với giới hạn vô cực, ta có một số quy tắc sau đây.

Nếu limxx0+f(x) = L0  limxx0+g(x) = +∞ (hoặc limxx0+g(x) = -∞ )  thì limxx0+[(f(x) . g(x)]  được tính theo quy tắc cho bởi bảng sau:

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay x0+  thành x0  (hoặc +∞, −∞).

8. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 K.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếulimxx0f(x) = f(x0) .

Nhận xét: Để hàm số y = f(x) liên tục tại x0 thì phải có cả ba điều sau:

• Hàm số xác định tại x0;

• Tồn tại limxx0f(x) ;

limxx0 f(x) = f(x0) .

Chú ý: Khi hàm số y = f(x) không liên tục tại điểm x0 thì ta nói f (x) gián đoạn tại điểm  x0 và x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f (x).

9. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b).

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu f(x) liên tục tại mọi điểm trong khoảng ấy.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a; b].

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và limxa+f(x) = f(a), limxbf(x) = f(b).

Nhận xét: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì luôn tồn tại ít nhất một điểm c (a; b) sao cho f (c) = 0.

10. Tính liên tục của hàm số sơ cấp

• Hàm số đa thức y = P (x)  , các hàm số lượng giác y = sin x, y = cos x liên tục trên ℝ.

• Hàm số phân thức y = P (x)Q (x), hàm số căn thức y = P(x), các hàm số lượng giác y=tanx,y=cotx  liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng.

Trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức.

Nhận xét: Hàm số thuộc những loại trên được gọi chung là hàm số sơ cấp.

Sau đây, khi nói xét tính liên tục của một hàm số mà không nói gì thêm thì ta xét tính liên tục của hàm số đó trên những khoảng xác định của nó.

11. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục

Cho hai hàm số số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:

• Các hàm số y = f(x) + g(x); y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x0.

• Hàm số y = f(x)g(x) liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.

Bài tập tổng hợp Toán 11 Chương 3

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a) lim2n+6n3 ;

b) limn3n+312n3 ;

c) lim3n4n+23.4n5.2n .

Hướng dẫn giải

a) lim2n+6n3=lim2+6n13n=2 ;

b) limn3n+312n3=lim1nn3+3n31n32=lim11n2+3n31n32=12 ;

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Bài 2. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là -35  và tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Hướng dẫn giải

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Suy ra số hạng đầu tiên của dãy là: u1 = 1.

Khi đó tổng cấp số nhân lùi vô hạn là: 

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là: Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo  và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là S=58 .

Bài 3. Tính các giới hạn sau:

a) lim2n3+n24n13 ;

b) lim4.2n2.3n+13n .

Hướng dẫn giải

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Bài 4. Tính các giới hạn sau:

a) limx24x4xx24 ;

b) limx13x23x3x+12 .

Hướng dẫn giải

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Bài 5. Tìm các giới hạn sau:

a) A = limx+x(4x2+92x);

b) B = limx(x22x+2x).

Hướng dẫn giải

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

=limx2+2x12x+2x21=+

Bài 6. Chứng minh không tồn tại giới hạn của hàm số f(x) = sin1x khi x tiến tới 0.

Hướng dẫn giải

Xét hai dãy số xn=12nπ;yn=1π2+2nπ

Suy ra  limxn=lim12nπ=12πlim1n=12π.0=0

Và limyn=lim1π2+2nπ=1π2+2πlimn=0

Khi đó ta xét:

• lim f(xn) = limsin (2nπ) = 0;

• lim f (yn) = limsin (π2+2nπ) = 1.

Do lim f(xn lim f (yn) (0 1) nên hàm số f(x) = sin1x  không tồn tại giới hạn khi x tiến tới 0.

Bài 1. Tìm giá trị m để hàm số sau đây liên tục trên tập xác định:

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Xét trường hợp x ≠ 1, hàm số có dạng f(x) = x23x+2x1, là hàm số phân thức trên tập xác định (–∞; 1) ∪ (1; +∞) nên nó liên tục trên các khoảng (–∞; 1) và (1; +∞).

Xét trường hợp x = 1, ta có:

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

• f(1) = 2m. 1+1= 2m +1

Khi đó, để hàm f (x) liên tục tại điểm x0 = 1 thì:

limx1f(x) = f(1)2m+1= -1m = - 1

Vậy m = −1 là giá trị của tham số m cần tìm.

Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số sau đây tại điểm x = 3.

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Hướng dẫn giải

Ta có:

• limx3+f(x) = limx3+3 = 3

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Do limx3+f(x) limx3f(x) (3 5) nên hàm số gián đoạn tại điểm x = 3.

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình 3x3 + x2 – x – 1 có nghiệm trong khoảng (−1; 1).

Hướng dẫn giải

Hàm số f(x) = 3x3 + x2 – x – 1 là một hàm số đa thức, nên f (x) liên tục trên ℝ.

Suy ra, f (x) cũng liên tục trên đoạn [−1; 1].

Ta có:

• f(–1) = 3 . (–1)3 + (–1)2 – (–1) – 1 = –3 + 1 + 1 – 1 = –2;

• f(1) = 3 . 13 + 12 – 1 – 1 = 3 + 1 – 1 – 1 = 2.

Suy ra f(–1) . f(1) = (–2) . 2 = – 4 < 0.

Do vậy, có ít nhất một nghiệm c (−1; 1) sao cho f (c) = 0.

Vậy phương trình 3x3 + x2 – x – 1 có nghiệm trong khoảng (−1; 1).

Học tốt Toán 11 Chương 3

Các bài học để học tốt Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3 Toán lớp 11 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay khác: