Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo
Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.
Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo
Lý thuyết Giới hạn của dãy số
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1.1. Giới hạn 0 của dãy số
Ta nói (un) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| nhỏ hơn một số dương bé tùy ý cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: hay khi
Ví dụ: Cho dãy số (un) với . Tìm giới hạn của dãy số.
Hướng dẫn giải
Với n > 10 000 thì .
Suy ra .
Một vài giới hạn đặc biệt:
• , với k nguyên dương bất kì.
• , với q là số thực thỏa mãn |q| < 1.
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:
a) ;
Hướng dẫn giải
a) Do 3 là một số nguyên dương nên ;
b) Do | nên
1.2. Giới hạn hữu hạn của dãy số
Ta nói dãy số có giới hạn hữu hạn là số a (hay un dần tới a) khi n dần tới dương vô cực, nếu lim (un – a) = 0.
Kí hiệu: hay lim un = a khi n → +∞.
Chú ý: Nếu un = c (c là hằng số) thì
Ví dụ: Cho Chứng minh rằng .
Hướng dẫn giải
Theo định nghĩa, ta có .
2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số
Cho lim un = a, lim vn = b và c là hằng số. Khi đó:
• lim (un + vn) = a + b
• lim (un – vn) = a – b
• lim (c.un) = c . a
• lim (un.un) = a . b
• )
• Nếu thì và
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:
a)
b) .
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
Từ đó:
b)
.
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q thõa mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Cấp số nhân lùi vô hạn nàu có tổng là:
.
Ví dụ: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
Hướng dẫn giải
Ta có dãy số là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là và công bội nên
4. Giới hạn vô cực
• Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: lim un = + ∞ hay un → +∞ khi n → +∞.
• Dãy số (un) có giới hạn là −∞ khi n → +∞, nếu lim un = + ∞.
Kí hiệu: lim un = − ∞ hay un → −∞ khi n → +∞.
Chú ý:
• lim un = + ∞ ⇔ lim (−un) = − ∞;
• Nếu lim un = + ∞ hoặc lim un = − ∞ thì ;
• Nếu lim un = 0 và un > 0 với mọi n thì .
Ví dụ: Tìm giới hạn .
Hướng dẫn giải
Từ 2 > 1 suy ra
Mà 2n > 0 với mọi n nên lim 2n = + ∞.
Nhận xét:
• ;
• .
Bài tập Giới hạn của dãy số
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
a) ;
b) ;
c) .
Hướng dẫn giải
a) ;
b) ;
Bài 2. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là và tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Hướng dẫn giải
Suy ra số hạng đầu tiên của dãy là: u1 = 1.
Khi đó tổng cấp số nhân lùi vô hạn là:
Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là: và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là .
Bài 3. Tính các giới hạn sau:
a) ;
b) .
Hướng dẫn giải
Học tốt Giới hạn của dãy số
Các bài học để học tốt Giới hạn của dãy số Toán lớp 11 hay khác: