Giải Toán 11 trang 58 Tập 2 Kết nối tri thức

---

Với Giải Toán 11 trang 58 Tập 2 trong Bài 26: Khoảng cách Toán lớp 11 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 58.

Giải Toán 11 trang 58 Tập 2 Kết nối tri thức

Khám phá trang 58 Toán 11 Tập 2: Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt (P) tại O. Cho đường thẳng b thuộc mặt phẳng (P). Hãy tìm mối quan hệ giữa khoảng cách giữa a, b và khoảng cách từ Ođến b (H.7.88).

Lời giải:

Ta có d(O, b) = OH.

Vì a $\perp$ (P) nên a $\perp$ OH mà OH $\perp$ b nên OH là đoạn vuông góc chung của a và b, do đó d(a, b) = OH.

Vậy d(a, b) = d(O, b).

Luyện tập 3 trang 58 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA $\perp$ (ABCD), SA = a$\sqrt{2}$.

a) Tính khoảng cách từ A đến SC.

b) Chứng minh rằng BD $\perp$ (SAC).

c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa BD và SC.

Lời giải:

a) Hạ AH $\perp$ SC tại H. Khi đó d(A, SC) = AH.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC = $\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

Vì SA $\perp$ (ABCD) nên SA $\perp$ AC.

Xét tam giác SAC vuông tại A, AH là đường cao, ta có:

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$$=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{2a^2}=\frac{1}{a^2}$⇒ AH = a.

Vậy d(A, SC) = a.

b) Do ABCD là hình vuông nên AC $\perp$ BD.

Vì SA $\perp$ (ABCD) nên SA $\perp$ BD mà AC $\perp$ BD nên BD $\perp$ (SAC).

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, BD.

Kẻ OK $\perp$ SC tại K.

Vì BD $\perp$ (SAC) nên BD $\perp$ OK mà OK $\perp$ SC nên OK là đường vuông góc chung của BD và SC.

Xét tam giác CHA có O là trung điểm của AC và OK // AH (vì cùng vuông góc với SC) nên K là trung điểm của CH. Do đó OK là đường trung bình của tam giác CHA nên OK = $\frac{AH}{2}=\frac{a}{2}$ .

Vậy d(BD, SC) = $\frac{a}{2}$ .

Thảo luận trang 58 Toán 11 Tập 2: Khoảng cách giữa hai hình được nêu trong bài học (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) là khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc hình này và một điểm thuộc hình kia. Hãy thảo luận để làm rõ nhận xét này.

Lời giải:

- Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng a là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên a.

- Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên mặt phẳng (P).

- Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm M bất kì trên a đến mặt phẳng (P).

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Mà đường vuông góc là đường ngắn nhất nên khoảng cách giữa hai hình được nêu trong bài học (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) là khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc hình này và một điểm thuộc hình kia.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 26: Khoảng cách Kết nối tri thức hay khác:

• Giải Toán 11 trang 55

• Giải Toán 11 trang 56

• Giải Toán 11 trang 57

• Giải Toán 11 trang 59