Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Kết nối tri thức

Nếu một quả bóng được thả rơi tự do từ đài quan sát trên sân thượng của tòa nhà Landmark 81 (Thành phố Hồ Chí Minh) cao 461,3 m xuống mặt đất. Có tính được vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất hay không? (Bỏ qua sức cản không khí).

Một vật di chuyển trên một đường thẳng (H.9.2). Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t, s = s(t) (được gọi là phương trình của chuyển động).

a) Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t₀ đến t.

b) Giới hạn $\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{s\left(t\right)-s\left(t_0\right)}{t-t_0}$  cho ta biết điều gì ?

Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, có dạng Q = Q(t).

a) Tính cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ t₀ đến t.

b) Giới hạn $\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{Q\left(t\right)-Q\left(t_0\right)}{t-t_0}$   cho ta biết điều gì ?

Tính đạo hàm của hàm số y = –x² + 2x + 1 tại điểm x₀ = –1.

Tính đạo hàm f'(x₀) tại điểm x₀ bất kì trong các trường hợp sau:

a) f(x) = c (c là hằng số);

Tính đạo hàm f'(x₀) tại điểm x₀ bất kì trong các trường hợp sau:

b) f(x) = x.

Tính đạo hàm f'(x₀) tại điểm x₀ bất kì trong các trường hợp sau:

a) y = x² + 1

Tính đạo hàm f'(x₀) tại điểm x₀ bất kì trong các trường hợp sau:

b) y = kx + c (với k, c là các hằng số).

Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và P(x₀; f(x₀)) ∈ (C). Xét điểm Q(x; f(x)) thay đổi trên (C) với x ≠ x₀.

a) Đường thẳng đi qua hai điểm P, Q được gọi là một cát tuyến của đồ thị (C) (H.9.3). Tìm hệ số góc k_PQ của cát tuyến PQ.

b) Khi x → x₀ thì vị trí của điểm Q(x; f(x)) trên đồ thị (C) thay đổi như thế nào ?

c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà k_PQ có giới hạn hữu hạn k thì có nhận xét gì về vị trí giới hạn của cát tuyến QP?

Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol y = x² tại điểm có hoành độ x₀ = $\frac{1}{2}$ .

Cho hàm số y = x² có đồ thị là đường parabol (P).

a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến (P) tại điểm có hoành độ x₀ = 1.

b) Viết phương trình tiếp tuyến đó.

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P): y = –2x² tại điểm có hoành độ x₀ = –1.

Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là 400 m (H.9.4). Độ dốc của mặt cầu không vượt quá (độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang như Hình 9.5). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x² – x tại x₀ = 1;

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:

b) y = –x³ tại x₀ = –1.

Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = kx² + c (với k, c là các hằng số);

Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) y = x³.

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = –x² + 4x, biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ x₀ = 1;

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = –x² + 4x, biết:

b) Tiếp điểm có tung độ y₀ = 0.

Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 19,6 m/s thì độ cao h của nó (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi công thức h = 19,6t – 4,9t². Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.

a) Tìm c.

b) Tính y'(0) và tìm b.

c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m. Tìm a.

d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q.