Bài toán chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc hai (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Bài toán chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc hai lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Bài toán chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc hai.

Bài toán chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc hai (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

Bài toán: Tìm m để f(x) = ax² + bx + c thỏa mãn:

f(x) > 0, f(x) ≥ 0, f(x) < 0, f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Phương pháp giải:

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1. Với a = 0. (Nếu a ≠ 0 thì bỏ qua trường hợp này).

Trường hợp 2. Với a ≠ 0. Khi đó f(x) là tam thức bậc hai.

⦁ f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta <0\end{array}\right.$

⦁ f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.$

⦁ f(x) < 0 với mọi x ∈ ℝ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta <0\end{array}\right.$

⦁ f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.$

* Chú ý:

− Ta có thể dùng Δ’ = b’² – ac với $b^{\text{'}}=\frac{b}{2}$ thay cho Δ khi b là số chẵn.

− Xét f(x) = ax² + bx + c.

   Khi đó f(x) > 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ.

   Các dạng còn lại tương tự.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai x² + (m + 1)x + 2m + 3 dương với mọi x ∈ ℝ.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x² + (m + 1)x + 2m + 3 có hệ số a = 1 > 0.

Ta có Δ = (m + 1)² – 4(2m + 3) = m² – 6m – 11.

Để f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ thì $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta <0\end{array}\right.$

⇔ m² – 6m – 11 < 0  (do a = 1 > 0)

Vậy với $3-2\sqrt{5}<m<3+2\sqrt{5}$ thì x² + (m + 1)x + 2m + 3 dương với mọi x ∈ ℝ.

Ví dụ 2. Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình  x² + 2(m – 2)x + 2m – 1 ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x² + 2(m – 2)x + 2m – 1 có hệ số a = 1 > 0

Ta có Δ’ = (m – 2)² – (2m – 1) = m² – 6m + 5.

Để f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ thì $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ {\Delta }^{\text{'}}\le 0\end{array}\right.$

⇔ m² – 6m + 5 ≤ 0 (do a = a > 0)

⇔ 1 ≤ m ≤ 5.

Vậy với 1 ≤ m ≤ 5 bất phương trình x² + 2(m – 2)x + 2m – 1 ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ.

Ví dụ 3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{\left(m–1\right)x^2–2\left(m–2\right)x+2–m}}$ xác định với mọi x ∈ ℝ.

Hướng dẫn giải:

Hàm số f(x) xác định với mọi x ∈ ℝ khi g(x) = (m – 1)x² – 2(m – 2)x + 2 – m > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Trường hợp 1. Ta có m – 1 = 0 ⇔ m = 1.

Khi đó g(x) > 0 ⇔ 2x + 1 > 0 $\iff x>-\frac{1}{2}$ (không thỏa mãn với mọi x ∈ ℝ).

Trường hợp 2. Ta có m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1. Khi đó g(x) là tam thức bậc hai.

g(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ {\Delta }^{\text{'}}<0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m–1>0\\ {\Delta }^{\text{'}}={\left[–\left(m–2\right)\right]}^2–\left(m–1\right)\left(2–m\right)<0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m>1\\ 2m^2–7m+6<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>1\\ \frac{3}{2}<m<2\end{array}\right.\iff \frac{3}{2}<m<2.$

Vậy $\frac{3}{2}<m<2$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ 4. Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình x² + 2(m – 2)x + 2m – 1 ≤ 0 vô nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

x² + 2(m – 2)x + 2m – 1 ≤ 0 vô nghiệm ⇔ x² + 2(m – 2)x + 2m – 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

$\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ {\Delta }^{\text{'}}<0\end{array}\right.$

⇔ ∆’ = (m – 2)² – (2m – 1) < 0 (do a = 1 > 0)

⇔ m² – 6m + 5 < 0

⇔ 1 ≤ m ≤ 5

Vậy với 1 ≤ m ≤ 5 bất phương trình đã cho vô nghiệm.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tam thức f(x) = 3x² + 2(2m – 1)x + m + 4 dương với mọi x khi

A. $–1<m<\frac{11}{4};$

B. $–\frac{11}{4}<m<1;$

C. $–\frac{11}{4}\le m\le 1;$

D. m < –1 hoặc $m>\frac{11}{4}.$

Bài 2. Tam thức f(x) = –2x² + (m – 2)x – m + 4 không dương với mọi x khi

A. m ∈ ℝ \ {6};

B. m ∈ ∅;

C. m = 6;

D. m ∈ ℝ.

Bài 3. Tam thức f(x) = x² – (m + 2)x + 8m + 1 không âm với mọi x khi

A. m > 28;

B. 0 ≤ m ≤ 28;

C. m < 1;

D. 0 < m < 28.

Bài 4. Bất phương trình x² – mx – m ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi

A. m  ≤ –4 hoặc m ≥ 0;

B. –4 < m < 0;

C. m  < –4 hoặc m > 0;

D. –4 ≤ m ≤ 0.

Bài 5. Giá trị của tham số m để bất phương trình –x² + (2m – 1)x + m < 0 có tập nghiệm S = ℝ là

A. $m=\frac{1}{2};$

B. $m=-\frac{1}{2};$

C. m ∈ ℝ;

D. m ∈ ∅.

Bài 6. Bất phương trình x² – (m + 2)x + m + 2 ≤ 0 vô nghiệm khi và chỉ khi

A. m ∈ (–∞; –2] ∪ [2; +∞);

B. m ∈ (–∞; –2) ∪ (2; +∞);

C. m ∈ [–2; 2]

D. m ∈ (–2; 2).

Bài 7. Số giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình (2m² – 3m – 2)x² + 2(m – 2)x – 1 ≤ 0 có tập nghiệm S = ℝ là

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Bài 8. Giá trị của m để hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{\left(m+4\right)x^2–\left(m–4\right)x–2m+1}$ xác định với mọi x ∈ ℝ là

A. m ≤ 0;

B. $\frac{-20}{9}$ ≤ m ≤ 0;

C. m ≥ $\frac{-20}{9}$

D. m > 0.

Bài 9. Giá trị m để hàm số $f\left(x\right)=\frac{-x^2+4\left(m+1\right)x+1-4m^2}{-4x^2+5x-2}$ luôn dương là

A. m ≥ $-\frac{5}{8}$;

B. m < $-\frac{5}{8}$;

C. m < $\frac{5}{8}$;

D. m ≥ $\frac{5}{8}$.

Bài 10. Giá trị m để bất phương trình –2x² + 2(m – 2)x + m – 2 < 0 có nghiệm là

A. m ∈ ℝ;

B. m ∈ (–∞; 0) ∪ (2; +∞);

C. m ∈ (–∞; 0] ∪ [2; +∞);

D. m ∈ [0; 2].