Cách sử dụng các kí hiệu với mọi, tồn tại (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập sử dụng các kí hiệu với mọi, tồn tại lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập sử dụng các kí hiệu với mọi, tồn tại.

Cách sử dụng các kí hiệu với mọi, tồn tại (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

- Kí hiệu ∀: đọc là “với mọi” có nghĩa là tất cả các giá trị của một biến nào đó.

- Kí hiệu ∃: đọc là “tồn tại” có nghĩa là chỉ có một số giá trị hữu hạn thỏa mãn.

Một số lưu ý:

- Phủ định của mệnh đề “P(x): ∀x ∈ X” là mệnh đề “$\overline{P\left(x\right)}$: ∃x ∈ X”.

- Phủ định của mệnh đề “P(x): ∃x ∈ X” là mệnh đề “$\overline{P\left(x\right)}$: ∀x ∈ X”.

- Mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” đúng nếu với mọi x₀ ∈ X, P(x₀) là mệnh đề đúng.

- Mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” đúng nếu có x₀ ∈ X sao cho P(x₀) là mệnh đề đúng.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho mệnh đề: “∀x ∈ ℕ: x + 1 > 0”.

Phát biểu thành lời mệnh đề trên và xét tính đúng sai của nó.

Hướng dẫn giải:

Mệnh đề trên được phát biểu như sau:

“Với mọi số tự nhiên x thì x + 1 luôn lớn hơn 0”.

Hoặc ta có thể phát biểu như sau: “Với mọi số tự nhiên thì tổng của chính nó với 1 luôn lớn hơn 0”.

Vì x là số tự nhiên nên x ≥ 0 ⇒ x + 1 > 0 (đúng).

Vì vậy mệnh đề trên đúng.

Ví dụ 2: Phát biểu và xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) “∀x ∈ ℝ: x² > 0”.

b) “∀x ∈ ℝ: x² – 2x + 1 ≥ 0”.

c) “∃x ∈ ℤ: x² – 4x + 3 = 0”.

Hướng dẫn giải:

a) Mệnh đề “∀x ∈ ℝ: x² > 0” được phát biểu như sau:

“Với mọi số thực x thì x² luôn lớn hơn 0”.

Hoặc “Với mọi số thực thì bình phương của nó luôn dương”.

Ta có: 0 ∈ ℝ, 0² = 0.

Do đó mệnh đề trên sai.

b) Mệnh đề “∀x ∈ ℝ: x² – 2x + 1 ≥ 0” được phát biểu như sau:

“Với mọi số thực x thì x² – 2x + 1 luôn lớn hơn hoặc bằng 0”.

Ta có: x² – 2x + 1 = (x – 1)²

Mà bình phương của một số luôn lớn hơn hoặc bằng 0.

Suy ra mệnh đề trên đúng.

c) Mệnh đề “∃x ∈ ℤ: x² – 4x + 3 = 0” được phát biểu như sau:

“Tồn tại số nguyên x để phương trình x² – 4x + 3 = 0 bằng 0”.

Hoặc “Có một số nguyên x để phương trình x² – 4x + 3 = 0 bằng 0”.

Ta có: x² – 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3. 

Do đó tồn tại hai số nguyên x là 1 v à 3 để phương trình x2 – 4x + 3 = 0 bằng 0.

Vì vậy mệnh đề trên đúng. 

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho mệnh đề: “∀x ∈ ℝ, x < 3 ⇒ x² < 9”.

Mệnh đề trên được phát biểu như thế nào?

A. Tồn tại số thực x mà nếu số đó bé hơn 3 thì bình phương của nó bé hơn 9;

B. Với mọi số thực x mà nếu số đó bé hơn 3 thì bình phương của nó bé hơn 9;

C. Không có số thực x nào mà nếu số đó bé hơn 3 thì bình phương của nó bé hơn 9;

D. Có duy nhất một số thực x mà nếu số đó bé hơn 3 thì bình phương của nó bé hơn 9.

Bài 2: Cho mệnh đề sau: “… x ∈ ℝ, 4x² – 1 = 0”.

Chỗ trống trong mệnh đề trên có thể điền kí hiệu nào dưới đây để mệnh đề đúng?

A. ∀;

B. ∃;

C. Cả hai kí hiệu ∀ và ∃ đều được;

D. Không có kí hiệu nào thỏa mãn.

Bài 3: Mệnh đề “Mọi số chẵn đều chia hết cho 2” có mệnh đề phủ định là:

A. Mọi số chẵn đều không chia hết cho 2;

B. Có ít nhất một số chẵn chia hết cho 2;

C. Mọi số chẵn đều không chia hết cho 2;

D. Có ít nhất một số chẵn không chia hết cho 2.

Bài 4: Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ∃x ∈ ℤ, x² – 4 = 0;

B. ∀x ∈ ℤ, x² + 1 chia hết cho 3;

C. ∀x ∈ ℤ, x² > x;

D. ∃x ∈ ℤ, x² + 1 = 0.

Bài 5: Cho hai mệnh đề sau:

A: “∀x ∈ ℝ: x² – 4 ≠ 0” ;

B: “∃x ∈ ℝ: x² = x”.

Xét tính đúng sai của hai mệnh đề trên.

A. A đúng, B sai;

B. A sai, B đúng;

C. A đúng, B đúng;

D. A sai, B sai.

Bài 6: Kí hiệu X là tập hợp tất cả các bạn học sinh x trong lớp 10A1, P(x) là mệnh đề chứa biến “x đạt học sinh giỏi”. Mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” khẳng định rằng:

A. Tất cả các bạn học sinh trong lớp 10A1 đều đạt học sinh giỏi;

B. Bất cứ ai đạt học sinh giỏi đều học lớp 10A1;

C. Có một số bạn học lớp 10A1 đạt học sinh giỏi;

D. Tất cả các bạn học sinh trong lớp 10A1 đều không đạt học sinh giỏi.

Bài 7: Mệnh đề “∀x ∈ ℤ, x² + 1 > 0” được phát biểu là:

A. Với mọi số nguyên x, ta có x² + 1 luôn lớn hơn 0;

B. Tồn tại duy nhất một số nguyên x để x² + 1 luôn lớn hơn 0;

C. Tồn tại ít nhất một số nguyên x để x² + 1 luôn lớn hơn 0;

D. Không có số nguyên nào thỏa mãn bất đẳng thức x² + 1 > 0.

Bài 8: Mệnh đề nào sau đây sai?

A. ∀x ∈ ℕ, x ≤ 2x;

B. ∀x ∈ ℝ, $\sqrt{x}$ ≥ 0;

C. ∃x ∈ ℕ, x² = x;

D. ∀x ∈ ℝ, x > 0.

Bài 9: Cho mệnh đề : “∀x ∈ ℝ, x³ – 5x + 6 ≥ 0”.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là:

A. ∃x ∈ ℝ, x³ – 5x + 6 ≥ 0;

B. ∀x ∈ ℝ, x³ – 5x + 6 < 0;

C. ∀x ∉ ℝ, x³ – 5x + 6 ≥ 0;

D. ∃x ∈ ℝ, x³ – 5x + 6 < 0.

Bài 10: Cho các mệnh đề sau:

(1) ∀x ∈ ℝ, |x| > 1 ⇒ x > 1.

(2) ∃x ∈ ℤ, 2x² – 8 = 0.

(3) ∀x ∈ ℕ, 2^x + 1 là số nguyên tố.

Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.