Phát biểu định lý, định lý đảo dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ (bài tập + lời giải)
Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Phát biểu định lý, định lý đảo dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phát biểu định lý, định lý đảo dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.
Phát biểu định lý, định lý đảo dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ (bài tập + lời giải)
1. Phương pháp giải
– Trong toán học, định lý là mệnh đề đúng. Các định lý trong toán học thường có dạng P ⇒ Q.
– Định lý đảo là mệnh đề đảo, do đó ta xác định định lý đảo giống như phương pháp xác định mệnh đề đảo.
– Cho định lý P ⇒ Q.
Khi đó P là giả thiết, Q là kết luận.
Hoặc ta có thể phát biểu là:
+ P là điều kiện đủ để có Q.
+ Q là điều kiện cần để có P.
+ Điều kiện đủ để có Q là P.
+ Điều kiện cần để có P là Q.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho định lý sau: “Nếu một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn thì tổng hai góc đối diện của nó là 180°”.
a) Phát biểu định lý trên dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.
b) Phát biểu định lý đảo của định lý trên.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
P: “Một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn”
Q: “Tổng hai góc đối diện của nó là 180°”
a) Ta thấy định lý trên có dạng P ⇒ Q có thể được phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ như sau:
+ P là điều kiện đủ để có Q.
+ Q là điều kiện cần để có P.
Do đó định lý đã cho được phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ lần lượt là:
+ Một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn là điều kiện đủ để tổng hai góc đối diện của nó là 180°.
+ Tổng hai góc đối diện của một tứ giác là 180° là điều kiện cần để tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Định lý đảo Q ⇒ P của định lý trên được phát biểu như sau:
“Nếu tổng hai góc đối diện của một tứ giác là 180° thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn”.
Bài 2: Cho mệnh đề sau: “Tứ giác là hình bình hành thì tứ giác đó có các cặp cạnh đối bằng nhau”.
Mệnh đề trên có phải là định lý không? Nếu có, hãy phát biểu định lý trên dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.
Hướng dẫn giải:
Ta thấy mệnh đề trên đúng do đối với hình bình hành ta luôn có hai cặp cạnh đối bằng nhau.
Vì vậy mệnh đề trên là định lý.
Ta có:
P: “Tứ giác là hình bình hành”.
Q: “Tứ giác đó có các cặp cạnh đối bằng nhau”.
Ta thấy định lý trên có dạng P ⇒ Q có thể được phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ như sau:
+ P là điều kiện đủ để có Q.
+ Q là điều kiện cần để có P.
Do đó định lý đã cho được phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ lần lượt là:
+ Tứ giác là hình bình hành là điều kiện đủ để tứ giác đó có các cặp cạnh đối bằng nhau.
+ Tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau là điều kiện cần để tứ giác đó là hình bình hành.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có phát biểu là định lý?
A. Nếu một tứ giác là hình chữ nhật thì tứ giác đó có bốn cạnh bằng nhau;
B. Nếu một số tự nhiên tận cùng là 5 thì số đó chia hết cho 5;
C. Nếu một tự nhiên chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 9;
D. Nếu một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác đó là hình thoi.
Bài 2: Cho định lý sau: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng”.
Phát biểu định lý trên dưới dạng điều kiện cần.
A. Hai tam giác bằng nhau kéo theo hai tam giác đó đồng dạng;
B. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác đó đồng dạng;
C. Hai tam giác đồng dạng là điều kiện cần để hai tam giác đó bằng nhau;
D. Hai tam giác bằng nhau tương đương với hai tam giác đó đồng dạng.
Bài 3: Cho định lý sau: “Nếu một số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó thì số đó là số nguyên tố”.
Phát biểu định lý trên dưới dạng điều kiện đủ.
A. Một số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó khi và chỉ khi số đó là số nguyên tố;
B. Một số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó là điều kiện đủ để số đó là số nguyên tố;
C. Một số tự nhiên là số nguyên tố là điều kiện đủ để số đó chia hết cho 1 và chính nó;
D. Điều kiện cần và đủ để một số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó là số đó là số nguyên tố.
Bài 4: Cho các mệnh đề sau:
(1) Nếu tích của hai số a và b lớn hơn 0 thì a và b đều dương.
(2) Nếu a, b là hai số nguyên dương thì tích của chúng cũng là một số nguyên dương.
(3) Nếu tích của hai số a và b là một số nguyên âm thì trong hai số đó phải có một số nguyên dương và một số nguyên âm.
Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề là định lý?
A. 0;
B. 1;
C. 2;
D. 3.
Bài 5: Cho định lý sau: “Một tam giác là tam giác đều thì tam giác đó có ba đường phân giác bằng nhau”.
Phát biểu định lý đảo của định lý trên dưới dạng điều kiện cần.
A. Một tam giác là tam giác đều là điều kiện cần để tam giác đó có ba đường phân giác bằng nhau;
B. Một tam giác có ba đường phân giác bằng nhau là điều kiện cần để tam giác đó là tam giác đều;
C. Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi tam giác đó có ba đường phân giác bằng nhau;
D. Một tam giác là tam giác đều là điều kiện cần và đủ để tam giác đó có ba đường phân giác bằng nhau.
Bài 6: Cho định lý sau: “Nếu mỗi số nguyên a, b chia hết cho 7 thì tổng các bình phương của chúng chia hết cho 7”.
Phát biểu định lý đảo của định lý trên dưới dạng điều kiện đủ.
A. Mỗi số nguyên a, b chia hết cho 7 tương đương với tổng các bình phương của chúng chia hết cho 7;
B. Mỗi số nguyên a, b chia hết cho 7 là điều kiện đủ để tổng các bình phương của chúng chia hết cho 7;
C. Tổng bình phương của hai số nguyên a, b chia hết cho 7 là điều kiện đủ để mỗi số nguyên đó chia hết cho 7;
D. Mỗi số nguyên a, b chia hết cho 7 kéo theo tổng các bình phương của chúng chia hết cho 7.
Bài 7: Cho mệnh đề sau: “Nếu x là một số nguyên tố lớn hơn 3 thì x2 + 20 là một hợp số (tức là số có ước khác 1 và chính nó)”.
Đáp án nào dưới đây là cách viết khác với mệnh đề đã cho?
A. Điều kiện cần để x2 + 20 là một hợp số là x là số nguyên tố lớn hơn 3;
B. Điều kiện đủ để x2 + 20 là một hợp số là x là số nguyên tố lớn hơn 3;
C. Điều kiện cần và đủ để x2 + 20 là một hợp số là x là số nguyên tố lớn hơn 3;
D. Cả A và B đều đúng.
Bài 8: Cho mệnh đề sau: “Trong một mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó song song với nhau”.
Đáp án nào dưới đây là cách viết khác với mệnh đề đã cho?
A. Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ 3 là điều kiện cần để hai đường thẳng đó song song với nhau;
B. Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ 3 tương đương với để hai đường thẳng đó song song với nhau;
C. Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt song song với nhau là điều kiện đủ để hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ 3;
D. Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ 3 là điều kiện đủ để hai đường thẳng đó song song với nhau.
Bài 9: Cho định lý sau: “Hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”.
Cho biết giả thiết, kết luận của định lý trên.
A. “Hai tam giác bằng nhau” và “diện tích của chúng bằng nhau” đều là giả thiết của định lý;
B. “Hai tam giác bằng nhau” và “diện tích của chúng bằng nhau” đều là kết luận của định lý;
C. “Hai tam giác bằng nhau” là giả thiết, “diện tích của chúng bằng nhau” là kết luận của định lý;
D. “Hai tam giác bằng nhau” là kết luận, “diện tích của chúng bằng nhau” là giả thiết của định lý.
Bài 10: Cho định lý sau: “Nếu tam giác có hai góc bằng 45° thì tam giác đó là tam giác vuông cân”.
Cho biết giả thiết, kết luận của định lý trên.
A. “Tam giác có hai góc bằng 45°” là giả thiết, “tam giác đó là tam giác vuông cân” là kết luận của định lý;
B. “Tam giác có hai góc bằng 45°” và “tam giác đó là tam giác vuông cân” đều là kết luận của định lý;
C. “Tam giác có hai góc bằng 45°” và “tam giác đó là tam giác vuông cân” đều là giả thiết của định lý;
D. “Tam giác có hai góc bằng 45°” là kết luận, “tam giác đó là tam giác vuông cân” là giả thiết của định lý.
