Chứng minh đẳng thức vectơ (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Chứng minh đẳng thức vectơ lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh đẳng thức vectơ.

Chứng minh đẳng thức vectơ (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

• Để chứng minh đẳng thức vectơ, ta thực hiện các phép biến đổi theo một trong các hướng sau:

- Biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức (thông thường là xuất phát từ vế phức tạp biến đổi rút gọn để đưa về vế đơn giản hơn).

- Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về tương đương với một đẳng thức luôn đúng.

- Xuất phát từ một đẳng thức luôn đúng để biến đổi về đẳng thức cần chứng minh.

• Ta thường sử dụng các quy tắc sau để biến đổi:

- Quy tắc ba điểm: Với 3 điểm A, B, C ta luôn có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$.

- Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

- Quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ với I là trung điểm của AB. Với M là một điểm bất kì ta luôn có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$.

- Quy tắc trọng tâm: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ với G là trọng tâm của tam giác ABC.

- Sử dụng các tính chất của phép cộng, phép trừ hai vectơ.

...

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác đó. Điểm M tùy ý, chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$

$=\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)$   (quy tắc ba điểm)

$=3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$

$=3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{0}=3\overrightarrow{MG}$    (vì G là trọng tâm ∆ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$)

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Chú ý: Sau này, ta được sử dụng luôn đẳng thức trên để giải quyết các bài toán liên quan.

Phát biểu: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với M là một điểm bất kì ta luôn có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}$.

Hướng dẫn giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó từ tính chất trọng tâm ta suy ra:

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}; \overrightarrow{AD}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{GA}; \overrightarrow{BE}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{GB}; \overrightarrow{CF}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{GC}$

Do đó, ta có:

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}$

$=\left(-\frac{3}{2}\overrightarrow{GA}\right)+\left(-\frac{3}{2}\overrightarrow{GB}\right)+\left(-\frac{3}{2}\overrightarrow{GC}\right)$

$=-\frac{3}{2}.\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=-\frac{3}{2}.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$

Vậy đẳng thức đã cho được chứng minh.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$;

B. $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$;

C. $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$;

D. $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Bài 2. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung điểm của EF. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$;

B. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{\text{}AB}$;

C. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AC}$;

D. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{BC}$.

Bài 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung điểm của EF. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MO}$;

B. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}$;

C. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=3\overrightarrow{MO}$;

D. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$.

Bài 4. Cho tam giác ABC và G là trọng tâm. Và điểm O sao cho $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{OH}=2\overrightarrow{OG}$;

B. $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$;

C. $\overrightarrow{OH}=-\overrightarrow{OG}$;

D. $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OG}$.

Bài 5. Cho tam giác ABC và G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Biểu thức $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ bằng biểu thức nào dưới đây?

A. $2\overrightarrow{OH}+ \overrightarrow{HD}$;

B. $\overrightarrow{OH}+ \overrightarrow{HD}$;

C. $3\overrightarrow{OH}+ \overrightarrow{HD}$;

D. $\overrightarrow{-OH}+ \overrightarrow{HD}$.

Bài 6. Cho tam giác ABC và G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Tính $\overrightarrow{HA}-\overrightarrow{HB}-\overrightarrow{HC}$

A. $2\overrightarrow{OA}$;

B. $\overrightarrow{OA}$;

C. $3\overrightarrow{OA}$;

D. -$\overrightarrow{OA}$.

Bài 7. Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{ME}-\overrightarrow{MF}$;

B. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}-\overrightarrow{MF}$;

C. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}$;

D. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}$.

Bài 8. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung điểm của IJ. Đẳng thức nào sau đây đúng.

A. $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{IJ}$;

B. $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{IJ}$;

C. $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{JI}$;

D. $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{JI}$.

Bài 9. Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt không thẳng hàng. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính: $2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{DA}\right)=?$

A. $3\overrightarrow{DB}$;

B. $2\overrightarrow{DB}$;

C. $\overrightarrow{DB}$;

D. $4\overrightarrow{DB}$.

Bài 10. Cho tam giác ABC, có trung tuyến AM, I là trung điểm của AM. Tính $2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=?$

A. $\overrightarrow{OI}$;

B. $\overrightarrow{2OI}$;

C. $\overrightarrow{3OI}$;

D. $4\overrightarrow{OI}$.