Chứng minh hai vectơ cùng phương (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Chứng minh hai vectơ cùng phương lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh hai vectơ cùng phương.

Chứng minh hai vectơ cùng phương (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

- Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

- Để chứng minh hai vectơ cùng phương ta có thể làm theo hai cách sau:

+ Chứng minh giá của chúng song song hoặc trùng nhau;

+ Chứng minh tồn tại số thực k ≠ 0 sao cho $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$. Nếu k > 0 thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương cùng hướng, nếu k < 0 thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương ngược hướng.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v}=-6\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$. Chứng minh $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương, ngược hướng.

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

$\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{v}=-6\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}=-3\left(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{v}=-3\overrightarrow{u}$

Ta có: – 3 < 0

Vậy $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$  cùng phương, ngược hướng.

Ví dụ 2. Cho hai vectơ $\overrightarrow{x}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{y}=6\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$. Chứng minh hai vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ cùng phương, cùng hướng.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\overrightarrow{x}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{y}=6\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}=3\left(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=3\overrightarrow{x}$

$\Rightarrow \overrightarrow{y}=3\overrightarrow{x}$

Ta có: 3 > 0

Vậy $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ cùng phương, cùng hướng.

3. Bài tập tự luyện.

Bài 1. Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương và hai vectơ $\overrightarrow{x}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{y}=-4\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ cùng phương, cùng hướng;

B. $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ không cùng phương;

C. $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ bằng nhau;

D. $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ cùng phương, ngược hướng. 

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương, cùng hướng;

B. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương, ngược hướng;

C. $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương, cùng hướng;

D. $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CB}$  cùng phương, cùng hướng.

Bài 3. Cho hình vuông ABCD tâm O. Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương, ngược hướng;

B. $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CB}$ cùng phương, ngược hướng;

C. $\overrightarrow{AO}$ và $\overrightarrow{CO}$ không cùng phương;

D. $\overrightarrow{AO}$ và $\overrightarrow{OD}$ không cùng phương.

Bài 4. Cho các vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương và $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{y}=2\overrightarrow{a}+6\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{z}=-3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ cùng phương, ngược hướng;

B.  $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ cùng phương, cùng hướng;

C. $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{x}$ cùng phương, ngược hướng;

D. $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{x}$ cùng phương, cùng hướng.

Bài 5. Cho các vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương và $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{a}-9\overrightarrow{b}$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương, ngược hướng;

B.  $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$  cùng phương, cùng hướng;

C.  $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$  bằng nhau;

D.  $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$  không cùng phương.

Bài 6. Cho các vectơ  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$  không cùng phương và: $\overrightarrow{x}=5\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$ ,  $\overrightarrow{y}=2\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{z}=10\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ cùng phương, ngược hướng;

B. $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ cùng phương, cùng hướng;

C. $\overrightarrow{z}$, $\overrightarrow{x}$cùng phương, ngược hướng;

D. $\overrightarrow{z}$, $\overrightarrow{x}$ cùng phương, cùng hướng.

Bài 7. Cho các vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ không cùng phương và: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}$ và $\overrightarrow{\text{w}}=2\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ cùng phương, ngược hướng;

B. $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{\text{w}}$ cùng phương, cùng hướng;

C. $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{\text{w}}$ cùng phương, ngược hướng;

D. $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ cùng phương, cùng hướng.

Bài 8. Cho các vectơ $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ không cùng phương và: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{\text{w}}=2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A.  $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ cùng phương, ngược hướng;

B. $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$  không cùng phương;

C. $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{\text{w}}$ cùng phương, ngược hướng;

D. $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ cùng phương, cùng hướng.

Bài 9. Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm của CD, N là trung điểm của AB. Số vectơ khác vectơ – không, có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình chữ nhật ABCD và cùng phương với $\overrightarrow{MN}$là:

A. 2;

B. 4;

C. 3;

D. 5.

Bài 10. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ – không, có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình lục giác đều ABCDEF và cùng phương với vectơ $\overrightarrow{OB}$ là:

A. 4;

B. 6;

C. 8;

D. 10.