Xác định góc giữa hai vectơ (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Xác định góc giữa hai vectơ lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định góc giữa hai vectơ.

Xác định góc giữa hai vectơ (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

- Sử dụng định nghĩa góc giữa hai vectơ để xác định góc cần tìm.

- Định nghĩa góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Từ một điểm O bất kì ta vẽ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$. Góc $\widehat{AOB}$ với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ . Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$  là $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Nếu $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = 90° thì nói rằng $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc hay $\overrightarrow{a}$ ⊥ $\overrightarrow{b}$.

- Chú ý:

+ $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = $\left(\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}\right)$.

+ Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác vectơ $\overrightarrow{0}$ luôn bằng 0°;

+ Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác vectơ $\overrightarrow{0}$ luôn bằng 180°;

+ Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ là vectơ $\overrightarrow{0}$ thì ta quy ước góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 0° đến 180°).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{ABC}$

Xét tam giác ABC vuông cân tại A nên: $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45°$

Vậy $\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{ABC}=45°$.

Ví dụ 2. Cho hình thoi ABCD có $\widehat{ABC}=60°$. Tính góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{BAD}$

Xét tam giác ABC có: 

$\widehat{ABC}=60°$

AB = BC

Do đó, tam giác ABC đều

$\Rightarrow \widehat{BAC}=60°$

$\Rightarrow \widehat{BAD}=2.\widehat{BAC}=120°$

Vậy $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{BAD}=120°$.

3. Bài tập tự luyện.

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{BC}$.

A. 45°;

B. 135°;

C. 90°;

D. 120°.

Bài 2. Cho tam giác ABC đều. Tính góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$.

A. 90°;

B. 135°;

C. 90°;

D. 60°.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có: AB = 4, BC = 8. Tính $\left(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA}\right)$.

A. 90°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại B. Có AB = 3, AC = 6. Tính $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$.

A. 90°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Bài 5. Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 6, BC = 4. Tính côsin của góc $\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)$.

A. $\frac{1}{8}$;

B. $\frac{3}{8}$;

C. $\frac{7}{8}$;

D. $\frac{1}{2}$.

Bài 6. Cho tam giác ABC có AB = 12, BC = 15, AC = 13. Tính $cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$.

A. $\frac{1}{39}$;

B. $\frac{1}{3}$;

C. $\frac{1}{9}$;

D. $\frac{11}{39}$.

Bài 7. Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính $\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BA}\right)$.

A. 90°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Bài 8. Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\right)$.

A. 180°;

B. 0°;

C. 30°;

D. 45°.

Bài 9. Cho hình chữ nhật ABCD. Tính góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}\right)$.

A. 180°;

B. 0°;

C. 30°;

D. 45°.

Bài 10. Cho hình thoi ABCD tâm O. Biết BD = $2\sqrt{3}$, AC = 6. Tính $\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)$.

A. 180°;

B. 120°;

C. 30°;

D. 65°.