Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước.

Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước (bài tập + lời giải)

Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước

1. Phương pháp giải.

- Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, phép cộng, phép trừ vectơ, quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm, các tính chất về vectơ,... biến đổi đẳng thức đã cho để tìm ra điểm cần xác định.

- Ta có thể biến đổi đẳng thức về một trong các dạng:

+ $\left|\overrightarrow{AM}\right|=R$ (R là hằng số) thì tập hợp điểm M là đường tròn tâm A bán kính R nếu R > 0, là tập rỗng nếu R < 0, M là A nếu R = 0.

+ $\left|\overrightarrow{MA}\right|=k\left|\overrightarrow{BC}\right|$ thì tập hợp điểm M là đường tròn tâm A, bán kính bằng k.BC.

+$\left|\overrightarrow{MA}\right|=\left|\overrightarrow{MB}\right|$ thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.

+ $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{BC}$ thì M là: đường thẳng qua A song song với BC nếu k là số thực; nửa đường thẳng qua A song song với BC theo hướng từ B đến C với k là số thực dương; nửa đường thẳng qua A song song với BC theo hướng từ C đến B với k là số thực âm.

2. Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC. Tìm điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$.

Hướng dẫn giải:

Gọi I là trung điểm của AB, J là trung điểm của CI.

Theo quy tắc trung điểm ta có, với điểm M bất kì: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI};\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MJ}$.

Do đó:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

$\iff 2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

$\iff 2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}\right)=\overrightarrow{0}$

$\iff 2.2\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{0}$

Do đó, điểm M trùng với điểm J.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Xác định điểm N thỏa mãn $\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{NB}+3\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$

Hướng dẫn giải:

Gọi E là trung điểm của AC.

Do đó, với điểm B thì $\overrightarrow{BA\text{}}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BE}$.

Ta có:

$\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{NB}+3\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$

$\iff \left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CA}\right)-2\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CB}\right)+3\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$     (quy tắc ba điểm)

$\iff 2\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CA}-2\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{CA}-2\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CN}$

$\iff \left(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right)+2\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{CN}$ (quy tắc về phép trừ hai vectơ, vectơ đối)

$\iff \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{CN}$

$\iff 2\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{CN}$

$\iff \overrightarrow{BE}=\overrightarrow{CN}$

Vậy điểm N cần tìm phải thỏa mãn $\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{BE}$ hay N là đỉnh thứ tư của hình bình hành EBCN.

3. Bài tập tự luyện.

Bài 1. Điểm I thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ là:

A. I nằm trên nửa đường thẳng AB theo hướng từ B về A với $IA=\frac{2}{3}AB$;

B. I nằm trên nửa đường thẳng AB theo hướng từ A về B với  $IA=\frac{2}{3}AB$;

C. I nằm trên nửa đường thẳng song song với AB theo hướng từ B về A với $IA=\frac{2}{3}AB$;

D. I nằm trên nửa đường thẳng AB theo hướng từ B về A với $IA=\frac{1}{3}AB$.

Bài 2. Điểm K thỏa mãn: $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB}$ là:

A. K là trung điểm của BC;

B. K là trọng tâm của tam giác ABC;

C. K là trực tâm của tam giác ABC;

D. K là trung điểm của AB.

Bài 3. Cho tam giác ABC. Điểm P thỏa mãn $\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}-3\overrightarrow{KC}$ với K tùy ý là điểm thỏa mãn:

A. $\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}$;

B. $\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}-2\overrightarrow{CB}$;

C. $\overrightarrow{CP}=2\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}$;

D. $\overrightarrow{CP}=2\overrightarrow{CA}-2\overrightarrow{CB}$.

Bài 4. Cho tứ giác ABCD, I là trung điểm BD. Tìm điểm O thỏa mãn $\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OD}$

A. O là đỉnh của hình bình hành IBON với $\overrightarrow{IN}=\frac{5}{3}\overrightarrow{IC}$;

B. O là đỉnh của hình bình hành IBON với $\overrightarrow{IN}=\frac{4}{3}\overrightarrow{IC}$;

C. O là đỉnh của hình bình hành IBON với $\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{IC}$;

D. O là đỉnh của hình bình hành IBON với $\overrightarrow{IN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{IC}$.

Bài 5. Cho tứ giác ABCD và điểm O bất kì sao cho $\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$. Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức $\left|\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}\right|=\left|3\overrightarrow{MA}\right|$.

A. M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA;

B. M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng DA;

C. M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng CA;

D. M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng CD.

Bài 6. Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết $2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

A. M nằm trên tia AB và AM = 4AB;

B. M nằm trên tia AB và AM = AB;

C. M nằm trên tia AB và AM = 3AB;

D. M nằm trên tia AB và AM = 2AB.

Bài 7. Cho tứ giác ABCD. Gọi I là trung điểm của BC. Xác định điểm M sao cho: $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$.

A. M là trung điểm AB;

B. M là trung điểm AI;

C. M là trung điểm BC;

D. M là trung điểm CI.

Bài 8. Cho tứ giác ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Xác định điểm P sao cho: $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=3\overrightarrow{AP}$

A. P là trung điểm của AG;

B. P là trung điểm của AC;

C. P là trung điểm của AD;

D. P là trung điểm của AB.

Bài 9. Cho tứ giác ABCD. Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD. Xác định điểm N sao cho: $\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}$.

A. N là trung điểm của CD;

B. N là trung điểm của AB;

C. N là trung điểm của HD;

D. N là trung điểm của KH.

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M bất kì nằm trong tam giác có hình chiếu xuống BC, CA, AB theo thứ tự là D, E, F. Tìm tập hợp điểm M biết $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}$ cùng phương với  $\overrightarrow{BC}$.

A. M thuộc đoạn PQ với P và Q lần lượt là trung điểm của AB và AC;

B. M thuộc đoạn FQ với Q là trung điểm của AC;

C. M thuộc đoạn AD;

D. M thuộc đoạn ME.