Tổng hợp lý thuyết Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân hay, chi tiết nhất - Toán lớp 11
Tổng hợp lý thuyết Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân hay, chi tiết nhất
Tài liệu Tổng hợp lý thuyết Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân hay, chi tiết nhất Toán lớp 11 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 11.
- Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học
- Lý thuyết Dãy số
- Lý thuyết Cấp số cộng
- Lý thuyết Cấp số nhân
- Lý thuyết Tổng hợp chương Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân
Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học
1. Để chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi n ∈ ℕ* bằng phương pháp quy nạp toán học, ta tiến hành hai bước:
♦ Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
♦ Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k (k ≥ 1) (ta gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n=k+1.
2. Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là số tự nhiên) thì:
♦ Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.
♦ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k (k ≥ p) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
3. Phép thử với một số hữu hạn số tự nhiên, tuy không phải là chứng minh, nhưng cho phép ta dự đoán được kết quả. Kết quả này chỉ là giả thiết, và để chứng minh ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học.
Lý thuyết Dãy số
I. ĐỊNH NGHĨA
1. Định nghĩa dãy số
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:
u: N* → R
n → u(n).
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển
u1, u2, u3,…, un,…,
trong đó un = u(n) hoặc viết tắt là (un), và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.
2. Định nghĩa dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,…,m} với m ∈ N* được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của nó là u1, u2, u3,…, un, trong đó u1 là số hạng đầu, un là số hạng cuối.
II. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ
1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:
a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).
b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.
III. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
1. Dãy số tăng, dãy số giảm
Định nghĩa 1
Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với mọi n ∈ N*.
Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1 < un với mọi n ∈ N*.
Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số (un) với un = (–3)n tức là dãy –3; 9; –27; 81,… không tăng cũng không giảm.
2. Dãy số bị chặn
Định nghĩa 2
Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho
un ≤ M, ∀ n ∈ N*
Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho
un ≥ m, ∀ n ∈ N*
Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho
m ≤ un ≤ M, ∀ n ∈ N*
Lý thuyết Cấp số cộng
I. ĐỊNH NGHĨA
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi
un+1 = un + d với n ∈ N*
Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đỗi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
Định lí 1
Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:
un = u1 + (n – 1 )d với n ≥ 2
III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG
Định lí 2
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG
Định lí 3
Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un. Khi đó
Chú ý: Vì un = u1 + (n – 1)d nên công thức trên có thể viết lại là 
