Luyện tập 4 trang 32 chuyên đề Toán lớp 11 Cánh diều


Trong , chứng minh rằng hai hình OMGE và COEN đồng dạng với nhau.

Giải Chuyên đề Toán 11 Bài 2: Phép đồng dạng - Cánh diều

Luyện tập 4 trang 32 chuyên đề Toán lớp 11: Trong Ví dụ 8, chứng minh rằng hai hình OMGE và COEN đồng dạng với nhau.

Luyện tập 4 trang 32 chuyên đề Toán lớp 11 Cánh diều | Giải Chuyên đề Toán 11

Lời giải:

Luyện tập 4 trang 32 chuyên đề Toán lớp 11 Cánh diều | Giải Chuyên đề Toán 11

+) Vì O là giao hai đường chéo của hình vuông ABCD nên AC và BD vuông góc với nhau tại O và O là trung điểm của AC và BD, lại có AC = BD nên suy ra OA = OB = OC = OD.

Tam giác OBC cân tại O (OB = OC) có ON là đường trung tuyến nên ON là đường phân giác, suy ra CON^=BON^=BOC^2=90°2=45°.

Tương tự ta chứng minh được BOM^=45°  hay EOM^=45° .

Trên tia ON, lấy điểm C' sao cho OC' = OC. Trên tia OB, lấy điểm N' sao cho ON' = ON. Trên tia OM, lấy điểm E' sao cho OE' = OE.

Lại có COC'^=CON^=45° , NON'^=BON^=45° và NON'^=BON^=45°.

Mà phép quay với góc quay 45° có chiều quay ngược chiều kim đồng hồ.

Do đó, ta có phép quay tâm O với góc quay 45° biến các điểm C, O, E, N tương ứng thành các điểm C'¸O, E', N' nên phép quay tâm O với góc quay 45° biến hình COEN thành hình C'OE'N' (1).

+) Giả sử hình vuông ABCD có cạnh là a.

Khi đó BD = AC = a2, OB = OC = a22, ON = AB2=a2 .

Suy ra OE=OB2=a24, OC' = OC = a22, ON' = ON = a2.

Suy ra OEON'=22,ONOC'=22, do đó OEON'=ONOC'=22.

Qua E, kẻ đường thẳng song song với E'N' cắt OM tại F, suy ra EF // E'N' nên theo định lí Thales trong tam giác OE'N' ta có OFOE'=OEON'=22.  

Từ đó suy ra ONOC'=OEON'=OFOE'=22 nên ON=22OC', OE=22ON', OF=22OE' .

Như vậy, ta có phép vị tự tâm O với tỉ số 22biến các điểm C'¸O, E', N' tương ứng thành các điểm N, O, F, E hay phép vị tự tâm O với tỉ số 22 biến hình C'OE'N' thành hình NOFE (2).

+)  Tam giác NOB vuông cân tại N có NE là đường trung tuyến nên NE cũng là đường cao và NE = OB2 = OE, suy ra NEO^=90°  và EN = EO.

Tương tự, ta chứng minh được MEO^=90°và EM = EO.

Ta chứng minh được EFMG là hình vuông nên FEG^=90° và EF = EG.

Mà phép quay với góc quay – 90° có chiều quay cùng chiều kim đồng hồ.

Do đó, ta có phép quay tâm E với góc quay – 90° biến các điểm N, O, F, E tương ứng thành các điểm O, M, G, E hay phép quay tâm E với góc quay – 90° biến hình NOFE thành hình OMGE (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra hai hình OMGE và COEN đồng dạng với nhau.

Lời giải Chuyên đề Toán 11 Bài 2: Phép đồng dạng hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: