Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có 13^n – 1 chia hết cho 6

Ôn tập chương 3 (phần Đại số và Giải tích)

Bài 5 trang 107 Toán 11: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có:

a) 13ⁿ – 1 chia hết cho 6;

b) 3n³ + 15n chia hết cho 9.

Trả lời

a) Đặt A_n = 13ⁿ – 1. Khi n = 1 ta có A₁ = 12 ⋮ 6

Giả sử với n = k ≥ 1 ta có A_k = (13^k – 1) ⋮ 6 (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh A_k+1 = (13^k+1 – 1) ⋮ 6

Thật vậy ta có A_k+1 = 13^k+1 – 1= 13.13^k – 1 = 13(6m + 1) – 1

= 78m + 12 = 6(13m + 2) với (m ∈ N*) ⇒ A_k+1 ⋮ 6 (đpcm)

b) Đặt B_n = 3n³ + 15n. Khi n = 1 ta có B₁ = 18 ⋮ 9

Giả sử với n = k ≥ 1 ta có B_k = (3k³ + 15k) ⋮ 9 (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh B_k+1 = [ (3(k+1)³ + 15(k+1)] ⋮ 9

Thật vậy ta có B_k+1 = 3(k+1)³ + 15(k+1)

= 3(k³ + 3k² + 3k + 1) + 15k + 15 = (3k³ + 15k) + 9(k² + k + 2)

= [B_k + 9(k² + k + 2)] ⋮ 9 (đpcm)