Cho dãy số (Un), biết U1 = 2, Un+1 = 2Un – 1 (với n ≥ 1). Viết năm số hạng

Ôn tập chương 3 (phần Đại số và Giải tích)

Bài 6 trang 107 Toán 11: Cho dãy số (Un), biết U₁ = 2, U_n+1 = 2U_n – 1 ( với n ≥ 1)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy ;

b) Chứng minh u_n = 2^n-1 + 1, bằng phương pháp quy nạp.

Trả lời

a) Ta có u₁ = 2; u₂ = 2u₁ – 1 = 3; u₃ = 2u₂ – 1 = 5

u₄ = 2u₃ – 1 = 9 , u₅ = 2u₄ – 1 = 17

b) Khi n = 1 ta có u₁ = 2. Giả sử (1) đúng đến n = k ≥ 1 tức là

u_k = 2^k-1 + 1. Ta phải chứng minh (1) đúng đến u = k + 1, tức là u_k+1 = 2^k + 1

Thật vậy ta có: u_k+1 = 2u_k – 1 = 2(2^k-1 + 1) – 1 = 2^k + 1 ⇒ (đpcm)