Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo

Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 2.28 trang 77 Sách bài tập Hình học 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo, AC = a, BD = b, tam giác SBD đều. Gọi I là điểm di động trên đoạn AC với AI = x (0 < 0 < a). Lấy là mặt phẳng đi qua I và song song với mặt phẳng (SBD).

a) Xác định thiết diện của mặt phẳng với hình chóp S.ABCD.

b) Tìm diện tích S của thiết diện ở câu a) theo a, b, x. Tìm x để S lớn nhất.

Lời giải:

a) Trường hợp 1 .

I thuộc đoạn AO (0 < x < a/2)

Khi đó I ở vị trí I₁

Ta có: (α) // (SBD)

Vì (α) // BD nên (α) cắt (ABD) theo giao tuyến M₁N₁ ( qua I₁) song song với BD

Tương tự (α) // SO nên (α) cắt (SOA) theo giao tuyến

S₁T₁ song song với SO.

Ta có thiết diện trong trường hợp này là tam giác S1M1N1.

Nhận xét. Dễ thấy rằng S₁M₁ // SB và S₁N₁ // SD. Lúc đó tam giác S1M1N1 đều.

Trường hợp 2. I thuộc đoạn OC (a/2 < x < a)

Khi đó I ở vị trí I₂. Tương tự như trường hợp 1 ta có thiết diện là tam giác đều S₂M₂N₂ có M₂N₂ // BD, S₂M₂ // SB, S₂N₂ // SD.

Trường hợp 3. I ≡ O. Thiết diện chính là tam giác đều SBD.

b) Ta lần lượt tìm diện tích thiết diện trong các trường hợp 1,2,3.

Trường hợp 1. I thuộc đoạn AO (0 < x < a/2)

Trường hợp 2. I thuộc đoạn OC (a/2 < x < a)

Trường hợp 3. I ≡ O.

Tóm lại

∗ Đồ thị của hàm số S theo biến x như sau:

Vậy S_{thiết diện} lớn nhất khi và chỉ khi x = a/2.