Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài 4.40 trang 171 Sách bài tập Đại số 11: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :

a) (1 − m²)(x + 1)³ + x² – x – 3 = 0;

b) m(2cosx − √2) = 2sin5x + 1

Lời giải:

a) (1 − m²)(x + 1)³ + x² – x – 3 = 0

f(x) = (1 − m²)(x + 1)³ + x² – x − 3 là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên [-2; -1]

Ta có f(−1) = −1 < 0 và f(−2) = m² + 2 > 0 nên f(−1).f(−2) < 0 với mọi m.

Do đó, phương trình f(x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1) với mọi m. Nghĩa là, phương trình (1 − m²)(x + 1)³ + x² – x – 3 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

b) m(2cosx − √2) = 2sin5x + 1

Xét hàm số f(x) = m(2cosx − √2) - 2sin5x - 1 trên đoạn