Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với n là số tự nhiên lẻ

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài 4.41 trang 172 Sách bài tập Đại số 11: Chứng minh phương trình

xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + ... + a_n-1x + a_n = 0 luôn có nghiệm với n là số tự nhiên lẻ.

Lời giải:

Hàm số f(x) = xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + ... + a_n-1x + a_n xác định trên R

- Ta có

Vì nên với dãy số (x_n) bất kì mà x_n → +∞ ta luôn có lim f(x_n) = +∞

Do đó, f(x_n) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì f(x_n) > 1 kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nói cách khác, luôn tồn tại số a sao cho f(a) > 1 (1)

Vì nên với dãy số (x_n) bất kì mà x_n → −∞ ta luôn có lim f(x_n) = −∞ hay lim[−f(x_n)] = +∞

Do đó, −f(x_n) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì −f(x_n) > 1 kể từ số hạng nào đó trở đi. Nói cách khác, luôn tồn tại b sao cho −f(b) > 1 hay f(b) < −1 (2)

- Từ (1) và (2) suy ra f(a).f(b) < 0

Mặt khác, f(x) hàm đa thức liên tục trên R nên liên tục trên [a; b]

Do đó, phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm.