Cho hàm số f(x) = x^3+px+q a) Tìm điều kiện đối với p và q

Câu hỏi và bài tập ôn tập chương 1

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 73 trang 62 sgk Giải Tích 12 nâng cao được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp bạn biết cách làm bài tập môn Toán 12.

Bài 73 (trang 62 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Cho hàm số f(x) = x³+px+q

a) Tìm điều kiện đối với p và q để hàm số f có cực đại và một cực tiểu.

b) Chứng minh rằng nếu có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì Phương trình x³+px+q = (1) có 3 nghiệm phân biệt.

c) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là 4p³+27q²<0

Lời giải:

a) f'(x)=3x²+p

Để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu thì phương trình f’(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và f’(x) đối dấu qua các điểm đó. Vật p < 0

⇔ ∆’ = - 3p > 0 hay p < 0 .

Vậy p < 0.

b) Cách 1.

Dạng đồ thị như hình vẽ.

Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt nên phương trình x³+px+q= 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Cách 2.

Hàm số f(x) = x³+px+q liên tục trên R và có

f_CĐ=f(x₁ ),f_CT=f(x₂ )

nên tồn tại số a sao cho f(a) < 0, a<x₁<

Vì f(a).f_CĐ < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a,x₁)

Và f(x₁ ).f(x² ) < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (x₁,x₂)

nên tồn tại một số b > x₂ sao cho f(b) > 0

Vì f(x² ),f(b)<0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (x²,b)

Do Phương trình bậc ba có nhiều nhất là 3 nghiệm. vậy Phương trình x³+px+q=0 có 3 nghiệm phân biệt.

Chú ý: khẳng định trên đúng với Phương trình bậc ba tổng quát.

Gọi x₁,x₂ là hai điểm cực trị của hàm số.

Theo câu b, ta có điều kiện cần và đủ để Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là giá trị cực đại và cực tiểu trái dấu nhau, nghĩa là y_CD.y_CT<0 <=> f(x₁ ).f(x₂ )<0