Cho hàm số y =(x^2 +2x - m)/( x - 1) (m là tham số). Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị

Cho hàm số y = (m là tham số).

Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Bài 11 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = $\frac{x^{2} + 2 x - m}{x - 1}$ (m là tham số).

a) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

b) Chứng tỏ rằng khi m = 2, hàm số có hai điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này.

Lời giải:

a) y = $\frac{x^{2} + 2 x - m}{x - 1}$

Tập xác định: D = ℝ\{1}.

Ta có: y' = $\frac{x^{2} - 2 x + m - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

a) Đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt.

⇔ x² – 2x + m – 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

⇔ ∆' > 0 ⇔ 3 – m > 0 ⇔ m < 3.

Đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị khi m < 3.

b) Nhận thấy m = 2 thỏa mãn điều kiện m < 3 nên khi đó hàm số có hai cực trị.

Với m = 2, ta có: y = $\frac{x^{2} + 2 x - 2}{x - 1}$ và y' = $\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$ .

Phương trình y' = 0 ⇔ $\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Với x = 0 thì y = 2, với x = 2 thì y = 6.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng y = ax + b.

Giải hệ phương trình, ta có: $\{\begin{cases} a .0 + b = 2 \\ a .2 + b = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = 2 \end{cases}$ .

Vậy y = 2x + 2.

Lời giải SBT Toán 12 Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản hay khác: