Bài 5 trang 65 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo

❮ Bài trước Bài sau ❯

Chứng minh rằng với mọi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta đều có:

Giải Toán lớp 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Bài 5 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1: Chứng minh rằng với mọi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta đều có:

a) cos²α + sin²α = 1;

b) tanα . cotα = 1 (0° < α < 180°, α ≠ 90°).

c) 1 + tan²α = $\frac{1}{\cos^{2} α}$ (α ≠ 90°);

d) 1 + cot² α = $\frac{1}{\sin^{2} α}$ (0° < α < 180°).

Lời giải:

a) Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = α$ .

Bài 5 trang 65 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán lớp 10

Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác OPM vuông tại P có cạnh huyền OM = 1.

Ta có: OP² + MP² = OM²

Mà OP = |x₀| ; MP = OQ = y₀ và OM = 1

Suy ra : |x₀|² + y₀² = 1 tức là x₀² + y₀² = 1 (vì |x₀|² = x₀²)

Mặt khác, theo định nghĩa giá trị lượng giác của một góc ta có:

sinα = y₀

cosα = x₀

Suy ra cos² α + sin ²α = x₀² + y₀² = 1

Vậy sin ²α+ cos² α = 1.

b) Với mỗi góc α (0° < α < 180°, α ≠ 90°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = α$ .

Khi đó tanα = $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ ; cotα = $\frac{x_{0}}{y_{0}}$ ;

Suy ra tanα . cotα = $\frac{y_{0}}{x_{0}} . \frac{x_{0}}{y_{0}}$ = 1.

Vậy tanα . cotα = 1 (0° < α < 180°, α ≠ 90°).

c) Với α ≠ 90°; tanα = và x₀² + y₀² = sin ²α+ cos²α = 1 ; cosα = x₀ ⇒ cos²α = x₀².

Ta có: 1 + tan²α = $1 + {(\frac{y_{0}}{x_{0}})}^{2} = 1 + \frac{{y_{0}}^{2}}{x}$ ²0=x02+y02x²0=1x²0=1cos2α

Vậy 1 + tan²α = $\frac{1}{\cos^{2} α}$ (α ≠ 90°).

d) Với 0° < α < 180° ta có cotα = $\frac{x_{0}}{y_{0}}$ và sinα = y₀ ⇒ sin² α = y₀².

Ta có : 1 + cot²α = $1 + {(\frac{x_{0}}{y_{0}})}^{2} = 1 + \frac{{x_{0}}^{2}}{{y_{0}}^{2}} = \frac{{x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2}}{{y_{0}}^{2}} = \frac{1}{{y_{0}}^{2}} = \frac{1}{\sin^{2} α}$

Vậy 1 + cot² α = $\frac{1}{\sin^{2} α}$ (0^o < α < 180°).

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯