Cho ∆ABC và các khẳng định sau: (I) b^2 – c^2 = a(b.cosC – c.cosB); (II) (b + c)sinA = a(sinB + sinC); (III) ha = 2R.sinB.sinC; (IV) S = R.r.(sinA + sinB + sin C); Số khẳng định đúng là:

Cho ∆ABC và các khẳng định sau:

(I) b² – c² = a(b.cosC – c.cosB);

(II) (b + c)sinA = a(sinB + sinC);

(III) h_a = 2R.sinB.sinC;

(IV) S = R.r.(sinA + sinB + sin C);

Số khẳng định đúng là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

⦁ Ta xét khẳng định (I):

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABC ta có:

b² – c² = c² + a² – 2ca.cosB – (a² + b² – 2ab.cosC)

= c² + a² – 2ca.cosB – a² – b² + 2ab.cosC

= c² – b² + 2a(b.cosC – c.cosB)

Þ b² – c² = c² – b² + 2a(b.cosC – c.cosB)

Þ 2(b² – c²) = 2a(b.cosC – c.cosB)

Þ b² – c² = a(b.cosC – c.cosB).

Do đó khẳng định (I) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (II):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

(b + c)sinA = \[\left( {2R.\sin B + 2R.\sin C} \right).\frac{a}{{2R}}\]

\[ = \left( {\sin B + \sin C} \right).\frac{{2R.a}}{{2R}}\]

= a(sinB + sinC).

Vì vậy khẳng định (II) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (III):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

2R.sinB.sinC = \(2R.\frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}\)

\( = \frac{{bc}}{{2R}} = \frac{{abc}}{{4R}}.\frac{2}{a}\)

\( = \frac{{2S}}{a} = {h_a}\).

Vì vậy khẳng định (III) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (IV):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

R.r.(sinA + sinB + sin C) = \(R.r.\left( {\frac{a}{{2R}} + \frac{b}{{2R}} + \frac{c}{{2R}}} \right)\)

\[ = R.r.\frac{1}{R}\left( {\frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2}} \right)\]

\[ = r.\frac{{a + b + c}}{2} = r.p = S\].

Vì vậy khẳng định (IV) đúng.

Vậy có 4 khẳng định đúng, ta chọn phương án D.