Giải Toán 10 trang 57 Tập 2 Chân trời sáng tạo


Haylamdo biên soạn và sưu tầm giải Toán 10 trang 57 Tập 2 trong Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 57.

Giải Toán 10 trang 57 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(1; 1), B(5; 2), C(4; 4). Tính độ dài các đường cao của tam giác ABC.

Lời giải:

+) Ta có: AB(4; 1)

Đường thẳng AB nhận AB(4; 1) làm vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của AB là nAB(1; -4). Khi đó phương trình đường thẳng AB là:

1(x – 1) – 4(y – 1) = 0

⇔ x – 4y + 3 = 0.

Độ dài đường cao kẻ từ C là khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(1; 1)

+) Ta có:AC(3; 3)

Đường thẳng AC nhận AC(3; 3) làm vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của AC là nAC(1; -1). Khi đó phương trình đường thẳng AC là:

1(x – 1) – 1(y – 1) = 0

⇔ x – y = 0.

Độ dài đường cao kẻ từ B là khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(1; 1)

+) Ta có: BC(-1; 2)

Đường thẳng BC nhận BC(-1; 2) làm vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của BC là nBC(2; 1). Khi đó phương trình đường thẳng BC là:

2(x – 4) + 1(y – 4) = 0

⇔ 2x + y – 12 = 0.

Độ dài đường cao kẻ từ A là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(1; 1)

Vậy khoảng cách của các đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C của tam giác lần lượt là: 95;32;917.

Vận dụng 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1: 4x – 3y + 2 = 0 và d2: 4x – 3y + 12 = 0.

Lời giải:

Đường thẳng d1: 4x – 3y + 2 = 0 có véctơ pháp tuyến n1;

Đường thẳng d2: 4x – 3y + 12 = 0 có véctơ pháp tuyến n2;

Ta thấy n1=n2. Suy ra n1n2 cùng phương.

Do đó d1 // d2 hoặc trùng nhau.

Lấy M(1; 2) thuộc đường thẳng d1, thay tọa độ điểm M vào phương trình d2 ta được:

4.1 – 3.2 + 12 = 0 ⇔ 10 = 0 là mệnh đề sai.

Do đó M không thuộc đường thẳng d2.

Suy ra d1 song song với d2.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2 là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d2 bằng:

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1: 4x – 3y + 2 = 0 và d2: 4x – 3y + 12 = 0

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2 là 2.

Bài 1 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm A(-1; 5) và có vectơ chỉ phương u = (2; 1);

b) d đi qua điểm B(4; -2) và có vectơ pháp tuyến là n = (3; -2);

c) d đi qua P(1; 1) và có hệ số góc k = -2;

d) d đi qua hai điểm Q(3; 0) và R(0; 2).

Lời giải:

a) Phương trình tham số d đi qua điểm A(-1; 5) và có vectơ chỉ phương u = (2; 1) là: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp

Ta có vectơ chỉ phương u = (2; 1) nên vectơ pháp tuyến là n(1; -2). Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

1(x + 1) – 2(y – 5) = 0

⇔ x – 2y + 11 = 0.

Vậy phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d lần lượt là: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp và x – 2y + 11 = 0.

b) d đi qua điểm B(4; -2) và có vectơ pháp tuyến là n = (3; -2);

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm B(4; -2) và có vectơ pháp tuyến là n = (3; -2) là: 3(x – 4) – 2(y + 2) = 0

⇔ 3x – 2y – 16 = 0.

Ta có vectơ pháp tuyến là n(3; -2) nên vectơ chỉ phương u = (2; 3).

Phương trình tham số d đi qua điểm B(4; -2) và có vectơ chỉ phương u = (2; 3) là: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp

Vậy phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d lần lượt là: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp và 3x – 2y – 16 = 0.

c) Gọi phương trình d có dạng y = ax + b

Ta có hệ số góc k = -2 nên a = -2.

Khi đó phương trình đường thẳng d là: y = -2x + b (1).

Vì d đi qua P(1; 1) nên thay tọa độ điểm P vào (1) ta được: 1 = -2.1 + b

⇔ b = 3.

Do đó phương trình đường thẳng d là: y = -2x + 3 hay 2x + y – 3 = 0.

Suy ra vectơ pháp tuyến đường thẳng d là n = (2; 1) khi đó vectơ chỉ phương đường thẳng d là u = (1; -2)

Phương trình tham số của đường thẳng d là: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp

Vậy phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d lần lượt là: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp và 2x + y – 3 = 0.

d) Ta có: QR3;2

Đường thẳng d đi qua hai điểm Q(3; 0) và R(0; 2) nhận QR3;2 làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp

Ta có QR3;2 làm vectơ chỉ phương của d nên vec tơ pháp tuyến của d là: n(2; 3). Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

2(x – 3) + 3(y – 0) = 0

⇔ 2x + 3y – 6 = 0.

Vậy phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d lần lượt là: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp và 2x + 3y – 6 = 0.

Bài 2 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Cho tam giác ABC, biết A(2; 5), B(1; 2) và C(5; 4).

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC.

b) Lập phương trình tham số của trung tuyến AM.

c) Lập phương trình của đường cao AH.

Lời giải:

a) Ta có: BC(4; 2) là VTCP của đường thẳng BC. Do đó VTPT của đường thẳng BC là nBC(1; -2).

Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng BC là:

1.(x – 1) – 2(y – 2) = 0

⇔ x – 2y + 3 = 0

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là x – 2y + 3 = 0.

b) Do AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

Khi đó tọa độ điểm M là: M(3; 3)

Ta có AM(1; -2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AM. Do đó phương trình tham số đường thẳng AM đi qua điểm M(3; 3) nhận AM(1; -2) là vectơ chỉ phương là: Cho tam giác ABC, biết A(2; 5), B(1; 2) và C(5; 4)

Vậy phương trình tham số đường thẳng AM là: Cho tam giác ABC, biết A(2; 5), B(1; 2) và C(5; 4)

c) Ta có: BC4;2

Vì BC ⊥ AH nên BC4;2 là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AH.

Phương trình của đường cao AH đi qua A(2; 5) và nhận BC4;2 làm vectơ pháp tuyến là: 4(x – 2) + 2(y – 5) = 0

⇔ 2x + y – 9 = 0.

Vậy phương trình đường cao AH là 2x + y – 9 = 0.

Bài 3 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong các trường hợp sau:

a) ∆ đi qua A(2; 1) và song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0;

b) ∆ đi qua B(-1; 4) và vuông góc với đường thẳng 2x – y – 2 = 0.

Lời giải:

a) Đường thẳng 3x + y + 9 = 0 có vectơ pháp tuyến là n(3; 1)

Do đường thẳng ∆ song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0 nên vectơ pháp tuyến của ∆ trùng với vectơ pháp tuyến của đường thẳng 3x + y + 9 = 0 là nΔ(3; 1).

Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(2; 1) nhận nΔ(3; 1) làm VTPT là:

3(x – 2) + 1(y – 1) = 0

⇔ 3x + y – 7 = 0.

Ta có nΔ(3; 1) là VTPT của đường thẳng ∆ nên VTCP của đường thẳng ∆ là uΔ(1; -3). Khi đó phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(2; 1) và nhận uΔ(1; -3) làm VTCP: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong các trường hợp

Vậy Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là 3x + y – 7 = 0 và phương trình tham số của đường thẳng ∆ là Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong các trường hợp

b) ∆ đi qua B(-1; 4) và vuông góc với đường thẳng 2x – y – 2 = 0.

Đường thẳng 2x – y – 2 = 0 có vectơ pháp tuyến là n(2; -1)

Do đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng 2x – y – 2 = 0 nên vectơ chỉ phương của ∆ trùng với vectơ pháp tuyến của đường thẳng 2x – y – 2 = 0 là uΔ(2; -1).

Khi đó phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm B(-1; 4) và nhận uΔ(2; -1) làm VTCP: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong các trường hợp

Ta có uΔ(2; -1) là VTCP của đường thẳng ∆ nên VTPT của đường thẳng ∆ là nΔ(1; 2).

Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(-1; 4) nhận nΔ(1; 2) làm VTPT là:

1(x + 1) + 2(y – 4) = 0

⇔ x + 2y – 7 = 0.

Vậy Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là x + 2y – 7 = 0 và phương trình tham số của đường thẳng ∆ là Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong các trường hợp

Bài 4 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d1 và d2 sau đây:

a) d1: x – y + 2 = 0 và d2 : x + y + 4 = 0;

b) Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d1 và d2 sau đây

c) Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d1 và d2 sau đây

Lời giải:

a) Đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là n1= (1; −1)

Đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến là n2= (1; 1).

Ta có: n1.n2 = 1. 1 + 1. (−1) = 0 n1 n2.

d1 d2.

Vậy d1 vuông góc với d2.

b) Đường thẳng d1 có VTCP là u1 = (2; 5) ⇒ VTPT của d1 n1= (5; −2).

Đường thẳng d2 có VTCP là n2 = (5; −2).

n1= n2 . Do đó, d1d2song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1; 3) d1, thay tọa độ của M vào phương trình d2, ta được: 5. 1 − 2. 3 + 9 = 0

M d2.

d1 // d2.

Vậy đường thẳng d1 song song với đường thẳng d2.

c) Đường thẳng d1 có VTPT là u1 = (−1; 3) n1 = (3; 1) là vectơ pháp tuyến của d1.

Đường thẳng d2 có VTPT là n2 = (3; 1)

n1= n2.

Do đó, d1d2 song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm N(2; 5) d1, thay tọa độ của điểm N vào phương trình d2, ta được: 3. 2 + 5 − 11 = 0

N d2.

Suy ra d1 trùng d2.

Vậy hai đường thẳng d1 và d2 trùng nhau.

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ Chân trời sáng tạo hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: