Giải Toán 10 trang 57 Tập 2 Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm giải Toán 10 trang 57 Tập 2 trong Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 57.

Giải Toán 10 trang 57 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(1; 1), B(5; 2), C(4; 4). Tính độ dài các đường cao của tam giác ABC.

Lời giải:

+) Ta có: $\overrightarrow{AB}$(4; 1)

Đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{AB}$(4; 1) làm vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của AB là $\overrightarrow{n_{AB}}$(1; -4). Khi đó phương trình đường thẳng AB là:

1(x – 1) – 4(y – 1) = 0

⇔ x – 4y + 3 = 0.

Độ dài đường cao kẻ từ C là khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB:

+) Ta có:$\overrightarrow{AC}$(3; 3)

Đường thẳng AC nhận $\overrightarrow{AC}$(3; 3) làm vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của AC là $\overrightarrow{n_{AC}}$(1; -1). Khi đó phương trình đường thẳng AC là:

1(x – 1) – 1(y – 1) = 0

⇔ x – y = 0.

Độ dài đường cao kẻ từ B là khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC:

+) Ta có: $\overrightarrow{BC}$(-1; 2)

Đường thẳng BC nhận $\overrightarrow{BC}$(-1; 2) làm vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của BC là $\overrightarrow{n_{BC}}$(2; 1). Khi đó phương trình đường thẳng BC là:

2(x – 4) + 1(y – 4) = 0

⇔ 2x + y – 12 = 0.

Độ dài đường cao kẻ từ A là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC:

Vậy khoảng cách của các đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C của tam giác lần lượt là: $\frac{9}{\sqrt{5}};\frac{3}{\sqrt{2}};\frac{9}{\sqrt{17}}$.

Vận dụng 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁: 4x – 3y + 2 = 0 và d₂: 4x – 3y + 12 = 0.

Lời giải:

Đường thẳng d₁: 4x – 3y + 2 = 0 có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$;

Đường thẳng d₂: 4x – 3y + 12 = 0 có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}$;

Ta thấy $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{n_2}$. Suy ra $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ cùng phương.

Do đó d₁ // d₂ hoặc trùng nhau.

Lấy M(1; 2) thuộc đường thẳng d₁, thay tọa độ điểm M vào phương trình d₂ ta được:

4.1 – 3.2 + 12 = 0 ⇔ 10 = 0 là mệnh đề sai.

Do đó M không thuộc đường thẳng d₂.

Suy ra d₁ song song với d₂.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d₂ bằng:

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 2.

Bài 1 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm A(-1; 5) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (2; 1);

b) d đi qua điểm B(4; -2) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$ = (3; -2);

c) d đi qua P(1; 1) và có hệ số góc k = -2;

d) d đi qua hai điểm Q(3; 0) và R(0; 2).

Lời giải:

a) Phương trình tham số d đi qua điểm A(-1; 5) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (2; 1) là:

Ta có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (2; 1) nên vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$(1; -2). Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

1(x + 1) – 2(y – 5) = 0

⇔ x – 2y + 11 = 0.

Vậy phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d lần lượt là: và x – 2y + 11 = 0.

b) d đi qua điểm B(4; -2) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$ = (3; -2);

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm B(4; -2) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$ = (3; -2) là: 3(x – 4) – 2(y + 2) = 0

⇔ 3x – 2y – 16 = 0.

Ta có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$(3; -2) nên vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (2; 3).

Phương trình tham số d đi qua điểm B(4; -2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (2; 3) là:

Vậy phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d lần lượt là: và 3x – 2y – 16 = 0.

c) Gọi phương trình d có dạng y = ax + b

Ta có hệ số góc k = -2 nên a = -2.

Khi đó phương trình đường thẳng d là: y = -2x + b (1).

Vì d đi qua P(1; 1) nên thay tọa độ điểm P vào (1) ta được: 1 = -2.1 + b

⇔ b = 3.

Do đó phương trình đường thẳng d là: y = -2x + 3 hay 2x + y – 3 = 0.

Suy ra vectơ pháp tuyến đường thẳng d là $\overrightarrow{n}$ = (2; 1) khi đó vectơ chỉ phương đường thẳng d là $\overrightarrow{u}$ = (1; -2)

Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Vậy phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d lần lượt là: và 2x + y – 3 = 0.

d) Ta có: $\overrightarrow{QR}\left(-3;2\right)$

Đường thẳng d đi qua hai điểm Q(3; 0) và R(0; 2) nhận $\overrightarrow{QR}\left(-3;2\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:

Ta có $\overrightarrow{QR}\left(-3;2\right)$ làm vectơ chỉ phương của d nên vec tơ pháp tuyến của d là: $\overrightarrow{n}$(2; 3). Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

2(x – 3) + 3(y – 0) = 0

⇔ 2x + 3y – 6 = 0.

Vậy phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d lần lượt là: và 2x + 3y – 6 = 0.

Bài 2 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Cho tam giác ABC, biết A(2; 5), B(1; 2) và C(5; 4).

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC.

b) Lập phương trình tham số của trung tuyến AM.

c) Lập phương trình của đường cao AH.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{BC}$(4; 2) là VTCP của đường thẳng BC. Do đó VTPT của đường thẳng BC là $\overrightarrow{n_{BC}}$(1; -2).

Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng BC là:

1.(x – 1) – 2(y – 2) = 0

⇔ x – 2y + 3 = 0

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là x – 2y + 3 = 0.

b) Do AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

Khi đó tọa độ điểm M là: M(3; 3)

Ta có $\overrightarrow{AM}$(1; -2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AM. Do đó phương trình tham số đường thẳng AM đi qua điểm M(3; 3) nhận $\overrightarrow{AM}$(1; -2) là vectơ chỉ phương là:

Vậy phương trình tham số đường thẳng AM là:

c) Ta có: $\overrightarrow{BC}\left(4;2\right)$

Vì BC ⊥ AH nên $\overrightarrow{BC}\left(4;2\right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AH.

Phương trình của đường cao AH đi qua A(2; 5) và nhận $\overrightarrow{BC}\left(4;2\right)$ làm vectơ pháp tuyến là: 4(x – 2) + 2(y – 5) = 0

⇔ 2x + y – 9 = 0.

Vậy phương trình đường cao AH là 2x + y – 9 = 0.

Bài 3 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong các trường hợp sau:

a) ∆ đi qua A(2; 1) và song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0;

b) ∆ đi qua B(-1; 4) và vuông góc với đường thẳng 2x – y – 2 = 0.

Lời giải:

a) Đường thẳng 3x + y + 9 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$(3; 1)

Do đường thẳng ∆ song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0 nên vectơ pháp tuyến của ∆ trùng với vectơ pháp tuyến của đường thẳng 3x + y + 9 = 0 là $\overrightarrow{n_{\Delta }}$(3; 1).

Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(2; 1) nhận $\overrightarrow{n_{\Delta }}$(3; 1) làm VTPT là:

3(x – 2) + 1(y – 1) = 0

⇔ 3x + y – 7 = 0.

Ta có $\overrightarrow{n_{\Delta }}$(3; 1) là VTPT của đường thẳng ∆ nên VTCP của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{u_{\Delta }}$(1; -3). Khi đó phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(2; 1) và nhận $\overrightarrow{u_{\Delta }}$(1; -3) làm VTCP:

Vậy Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là 3x + y – 7 = 0 và phương trình tham số của đường thẳng ∆ là

b) ∆ đi qua B(-1; 4) và vuông góc với đường thẳng 2x – y – 2 = 0.

Đường thẳng 2x – y – 2 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$(2; -1)

Do đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng 2x – y – 2 = 0 nên vectơ chỉ phương của ∆ trùng với vectơ pháp tuyến của đường thẳng 2x – y – 2 = 0 là $\overrightarrow{u_{\Delta }}$(2; -1).

Khi đó phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm B(-1; 4) và nhận $\overrightarrow{u_{\Delta }}$(2; -1) làm VTCP:

Ta có $\overrightarrow{u_{\Delta }}$(2; -1) là VTCP của đường thẳng ∆ nên VTPT của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{n_{\Delta }}$(1; 2).

Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(-1; 4) nhận $\overrightarrow{n_{\Delta }}$(1; 2) làm VTPT là:

1(x + 1) + 2(y – 4) = 0

⇔ x + 2y – 7 = 0.

Vậy Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là x + 2y – 7 = 0 và phương trình tham số của đường thẳng ∆ là

Bài 4 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ sau đây:

a) d₁: x – y + 2 = 0 và d₂ : x + y + 4 = 0;

b)

c)

Lời giải:

a) Đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}$= (1; −1)

Đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}$= (1; 1).

Ta có: $\overrightarrow{n_1}$.$\overrightarrow{n_2}$ = 1. 1 + 1. (−1) = 0 ⇒ $\overrightarrow{n_1}$ ⊥$\overrightarrow{n_2}$.

⇒ d₁ ⊥ d₂.

Vậy d₁ vuông góc với d₂.

b) Đường thẳng d₁ có VTCP là $\overrightarrow{u_1}$ = (2; 5) ⇒ VTPT của d₁ là $\overrightarrow{n_1}$= (5; −2).

Đường thẳng d₂ có VTCP là $\overrightarrow{n_2}$ = (5; −2).

⇒ $\overrightarrow{n_1}$= $\overrightarrow{n_2}$ . Do đó, d₁ và d₂song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1; 3) ∈ d₁, thay tọa độ của M vào phương trình d₂, ta được: 5. 1 − 2. 3 + 9 = 0

⇒ M ∉ d₂.

⇒ d₁ // d₂.

Vậy đường thẳng d₁ song song với đường thẳng d₂.

c) Đường thẳng d₁ có VTPT là $\overrightarrow{u_1}$ = (−1; 3) ⇒$\overrightarrow{n_1}$ = (3; 1) là vectơ pháp tuyến của d₁.

Đường thẳng d₂ có VTPT là $\overrightarrow{n_2}$ = (3; 1)

⇒ $\overrightarrow{n_1}$= $\overrightarrow{n_2}$.

Do đó, d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm N(2; 5) ∈ d₁, thay tọa độ của điểm N vào phương trình d₂, ta được: 3. 2 + 5 − 11 = 0

⇒ N ∈ d₂.

Suy ra d₁ trùng d₂.

Vậy hai đường thẳng d₁ và d₂ trùng nhau.

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ Chân trời sáng tạo hay khác:

• Giải Toán 10 trang 46 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 47 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 48 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 49 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 51 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 53 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 54 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 56 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 58 Tập 2