Giải Toán 11 trang 93 Tập 2 Kết nối tri thức

---

Với Giải Toán 11 trang 93 Tập 2 trong Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm Toán lớp 11 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 93.

Giải Toán 11 trang 93 Tập 2 Kết nối tri thức

HĐ9 trang 93 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

a) Sử dụng giới hạn $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{h}=1$ và đẳng thức e^{x + h} – e^x = e^x(e^h – 1), tính đạo hàm của hàm số y = e^x tại x bằng định nghĩa.

b) Sử dụng hằng đẳng thức a^x = e^xlna (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = a^x.

Lời giải:

a)

Với x bất kì và h = x – x₀, ta có:

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{x_0+h}-e^{x_0}}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{x_0}\left(e^h-1\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }{e}^{x_0}.\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^h-1}{h}=e^{x_0}$.

Vậy hàm số y = e^x có đạo hàm là hàm số y' = e^x.

b)

Ta có: a^x = e^{x.ln a} nên (a^x)' = (e^{x.ln a})' = (x.ln a)' . e^{x.ln a} = e^{x.ln a}.ln a = a^x.ln a.

Luyện tập 6 trang 93 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=e^{x^2-x}$ ;

b) y = 3^{sin x} .

Lời giải:

a)

$y^{\text{'}}={\left(e^{x^2-x}\right)}^{\text{'}}=e^{x^2-x}.{\left(x^2-x\right)}^{\text{'}}=\left(2x-1\right)e^{x^2-x}$.

b)

y' = (3^{sin x})' = 3^{sin x} . (sin x)' . ln3 = 3^{sin x}.cos x. ln3.

HĐ10 trang 93 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit

a) Sử dụng giới hạn $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+t\right)}{t}=1$ và đẳng thức

ln(x + h) – lnx = $\ln \left(\frac{x+h}{x}\right)=\ln \left(1+\frac{h}{x}\right)$ , tính đạo hàm của hàm số y = ln x tại điểm x > 0 bằng định nghĩa.

b) Sử dụng đẳng thức ${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$ (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = log_ax.

Lời giải:

a)

Với x > 0 bất kì và h = x – x₀ ta có:

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln (x_0+h)-\ln x_0}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\frac{h}{x_0}\right)}{\frac{h}{x_0}.x_0}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{x_0}.\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\frac{h}{x_0}\right)}{\frac{h}{x_0}}=\frac{1}{x_0}$

Vậy hàm số y = ln x có đạo hàm là hàm số y' = $\frac{1}{x}$ .

b)

Ta có ${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$ nên ${\left({\log }_{a}x\right)}^{\text{'}}={\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x\ln a}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm Kết nối tri thức hay khác:

• Giải Toán 11 trang 88

• Giải Toán 11 trang 90

• Giải Toán 11 trang 91

• Giải Toán 11 trang 92

• Giải Toán 11 trang 94