Bài 5 trang 135 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 8

Cho biểu thức , trong đó x và y là hai biến thỏa mãn điều kiện xy – 1 ≠ 0.

Giải Toán 8 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 5 trang 135 Toán 8 Tập 2: Cho biểu thức $P = (\frac{x + y}{1 - x y} + \frac{x - y}{1 + x y}) : (1 + \frac{x^{2} + y^{2} + 2 x^{2} y^{2}}{1 - x^{2} y^{2}})$ , trong đó x và y là hai biến thỏa mãn điều kiện x²y² – 1 ≠ 0.

a) Tính mỗi tổng $A = \frac{x + y}{1 - x y} + \frac{x - y}{1 + x y}$ và $B = 1 + \frac{x^{2} + y^{2} + 2 x^{2} y^{2}}{1 - x^{2} y^{2}}$ .

b) Từ kết quả câu a, hãy thu gọn P và giải thích tại sao giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của biến y.

c) Chứng minh đẳng thức $P = 1 - \frac{{(1 - x)}^{2}}{1 + x^{2}}$ .

d) Sử dụng câu c, hãy tìm các giá trị của x và y sao cho P = 1.

Lời giải:

a) $A = \frac{x + y}{1 - x y} + \frac{x - y}{1 + x y}$ $= \frac{(x + y) (1 + x y) + (x - y) (1 - x y)}{(1 - x y) (1 + x y)}$

$= \frac{x + x^{2} y + y + x y^{2} + x - x^{2} y - y + x y^{2}}{1 - x^{2} y^{2}}$

$= \frac{2 x + 2 x y^{2}}{1 - x^{2} y^{2}}$

$B = 1 + \frac{x^{2} + y^{2} + 2 x^{2} y^{2}}{1 - x^{2} y^{2}}$ $= \frac{1 - x^{2} y^{2} + x^{2} + y^{2} + 2 x^{2} y^{2}}{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{1 + x^{2} + y^{2} + x^{2} y^{2}}{1 - x^{2} y^{2}}$

$= \frac{(1 + x^{2}) + y^{2} (1 + x^{2})}{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{1 - x^{2} y^{2}}$ .

b) P = A : B $= \frac{2 x + 2 x y^{2}}{1 - x^{2} y^{2}}$ : $\frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{1 - x^{2} y^{2}}$

$= \frac{2 x (1 + y^{2})}{1 - x^{2} y^{2}} . \frac{1 - x^{2} y^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ $= \frac{2 x}{1 + x^{2}}$ (*)

Trong biểu thức (*) ta thấy không xuất hiện biến y, chứng tỏ giá trị của biểu thức P nếu xác định thì nó không phụ thuộc vào biến y.

c) Ta có $1 - \frac{{(1 - x)}^{2}}{1 + x^{2}}$ $= \frac{1 + x^{2} - 1 + 2 x - x^{2}}{1 + x^{2}} = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$ .

So sánh kết quả này với (*) suy ra $P = 1 - \frac{{(1 - x)}^{2}}{1 + x^{2}}$

d) Để P = 1 thì $1 - \frac{{(1 - x)}^{2}}{1 + x^{2}} = 1$ , tức là $\frac{{(1 - x)}^{2}}{1 + x^{2}} = 0$ , suy ra (1 – x)² = 0, do đó x = 1.

Vì x²y² – 1 ≠ 0 nên với x = 1 thì y² – 1 ≠ 0 hay y ≠ 1; y ≠ –1.

Vậy để P = 1 thì x = 1 và y ≠ 1; y ≠ –1.

Lời giải bài tập Toán 8 Bài tập ôn tập cuối năm hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯