Đề thi Toán lớp 8 Học kì 2 năm 2024 có đáp án (4 đề - Sách mới)

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm Đề thi Toán lớp 8 Học kì 2 năm 2024 có đáp án (4 đề - Sách mới) được tổng hợp chọn lọc từ đề thi môn Toán 8 của các trường trên cả nước sẽ giúp học sinh có kế hoạch ôn luyện từ đó đạt điểm cao trong các bài thi Toán lớp 8.

Đề thi Toán lớp 8 Học kì 2 năm 2024 có đáp án (4 đề - Sách mới)

Ma trận đề thi Cuối học kì 2 Toán 8

Cấp độ Chủ đề	Nhận biết	Thông hiểu	Vận dụng		Cộng
			Cấp độ thấp	Cấp độ cao
1. Phương trình bậc nhất một ẩn.	Khái niệm PT bậc nhất một ẩn, PT tích.	Hiểu và giải được PT đưa về PT bậc nhất một ẩn, PT tích.	Vận dụng kiến thức để giải PT chứa ẩn ở mẫu, giải bài toán bằng cách lập PT.
Số câu  Số điểm       Tỉ lệ (%)	1 1,0 10%	1 1,0 10%	2 2,0 20%		4  4,0   40%
2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn.	Biết cách biểu diễn được bất phương trình.	- Giải được bất phương trình bậc nhất một ẩn. - Biểu diễn được tập nghiệm trên trục số.
Số câu  Số điểm       Tỉ lệ (%)	1 1,0 10%	1 1,0 10%			2 2,0  20%
3. Tam giác đồng dạng.	Vẽ đúng hình.	Biết lập ra tỉ lệ thức từ hai tam giác đồng dạng.	Vận dụng tỉ số đồng dạng để chứng minh tỉ số diện tích hai tam giác, tính độ dài một cạnh của tam giác.	Vận dụng tính chất tia phân giác để chứng minh hệ thức.
Số câu  Số điểm Tỉ lệ (%)		1 1,0 10%	1 1,0 10%	1 1,0 10%	3 3,0 30%
5. Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều.		Tính được diện tích xung quanh, thể tích của hình lăng trụ đứng.
Số câu Số điểm Tỉ lệ %		1 1,0 10%			1 1,0 10%
Tổng số câu  Tổng điểm Tỉ lệ %	2 2 điểm 20%	4 4 điểm 40%	4 4 điểm 40%		10 10 điểm 100%

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Học kì 2

Năm học 2024

Bài thi môn: Toán lớp 8

Thời gian làm bài: phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 1)

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) 5x + 12 = 33x + 25;

b) 3 – 4x (25 – 2x) = 8x² + x – 300;

c) $\frac{\mathrm{x}}{2\mathrm{x}-6}+\frac{\mathrm{x}}{2\mathrm{x}+2}=\frac{2\mathrm{x}}{(\mathrm{x}-3)(\mathrm{x}+1)}$.

Bài 2: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a) – 3x + 2 > 5

b) $\frac{4x-5}{3}>\frac{7-x}{5}$.

Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Một số tự nhiên lẻ có hai chữ số và chia hết cho 5. Hiệu của số đó và chữ số hàng chục của nó bằng 86. Tìm số đó.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao (H thuộc BC). Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.

a) Chứng minh: AEHD là hình chữ nhật.

b) Chứng minh: ∆ABH $∾$ ∆AHD.

c) Chứng minh: HE² = AE . EC.

d) Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh: ∆DBM $∾$ ∆ECM.

Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh bằng 5 cm và chiều cao của lăng trụ là 7 cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của lăng trụ.

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Học kì 2

Năm học 2024

Bài thi môn: Toán lớp 8

Thời gian làm bài: phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 2)

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) 2x + 5 = 12x + 16;

b) (x + 2)(3 – 4x) = x² + 4x + 4;

c) $\frac{5x-2}{3}+x=1+\frac{5-3x}{2}$.

Bài 2: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a) 3(x – 2)(x + 2) < 3x² + x;

b) $\frac{x+6}{5}-\frac{x-2}{3}<4$.

Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Tử số của một phân số nhỏ hơn mẫu số của nó 5 đơn vị. Nếu thêm vào tử số 17 đơn vị và vào mẫu số 2 đơn vị thì được phân số mới bằng số nghịch đảo của phân số ban đầu. Tìm phân số ban đầu.

Bài 4: Cho hình thang cân ABCD có AB // DC và AB < DC. Đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC. Vẽ đường cao BH.

a) Chứng minh: ∆HDB đồng dạng với ∆BCD.

b) Tính độ dài đường chéo BD, AC.

c) Tính diện tích hình thang ABCD.

Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = 10 cm, cạnh bên SA = 12 cm.

a) Tính đường chéo AC.

b) Tính đường cao SO rồi tính thể tích của hình chóp.

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2024

Môn: Toán 8

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề thi số 3)

Phần trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1: x = 4 là nghiệm của phương trình

A/ 3x - 1 = x - 5       B/ 2x - 1 = x + 3

C/ x - 3 = x - 2       D/ 3x + 5 =-x - 2

Câu 2: Cho hai phương trình : x(x - 1) (I) và 3x - 3 = 0(II)

A/ (I)tương đương (II)

B/ (I) là hệ quả của phương trình (II)

C/ (II) là hệ quả của phương trình (I)

D/ Cả ba đều sai

Câu 3: Cho biết 2x - 4 = 0.Tính 3x - 4 bằng:

A/ 0       B/ 2       C/ 17       D/ 11

Câu 4: Phương trình có nghiệm là :

A/{-1}       B/ {-1; 3}       C/ {-1; 4}       D/ S = R

Câu 5: Bất phương trình :x² + 2x + 3 > 0 có tập nghiệm là :

A/ Mọi x ∈ R       B/ x ∈ φ       C/ x > -2       D/ x ≥ -2

Câu 6: Để biểu thức (3x + 4) - x không âm giá trị của x phải là :

A/ x ≥ -2       B/ -x ≥ 2       C/ x ≥ 4       D/ x ≤ -4

Câu 7: Cho hình vẽ : NQ//PK ; Biết MN = 1cm ;MQ = 3cm ; MK = 12cm. Độ dài NP là:

A/ 0,5 cm       B/ 2cm       C/ 4cm       D/ 3cm

Câu 8: ΔABC đồng dạng với Δ DEF theo tỉ số đồng dạng k₁ ;ΔDEF đồng dạng với ΔGHK theo tỉ số đồng dạng k₂ . ΔABC đồng dạng với Δ GHK theo tỉ số :

A/ k₁/k₂       B/ k₁ + k₂       C/ k₁ - k₂       D/ k₁ .k₂

Phần tự luận (8 điểm)

Bài 1: (2 điểm) Giải phương trình và bất phương trình sau:

a) |3x| = x + 6

c) (x + 1)(2x – 2) – 3 > –5x – (2x + 1)(3 – x)

Bài 2: (2 điểm) Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày phải sản xuất 50 sản phẩm. Khi thực hiện mỗi ngày tổ sản xuất 57 sản phẩm. Do đó, tổ đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày và còn vượt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Bài 3: (0,5 điểm) Chứng minh rằng nếu a > 0, b > 0, c > 0 và a < b thì

Bài 4: (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh ΔAEB và ΔAFC đồng dạng. Từ đó suy ra: AF.AB = AE.AC

b) Chứng minh ∠AEF = ∠ABC

c) Cho AE = 3cm, AB = 6cm. Chứng minh rằng SABC = 4SAEF

d) Chứng minh

Đáp án và Hướng dẫn giải

Phần trắc nghiệm (2 điểm)

1.B	3.B	5.A	7.D
2.C	4.A	6.A	8.D

Phần tự luận (8 điểm)

Bài 1

a) |3x| = x + 6 (1)

Ta có 3x = 3x khi x ≥ 0 và 3x = -3x khi x < 0

Vậy để giải phương trình (1) ta quy về giải hai phương trình sau:

+ ) Phương trình 3x = x + 6 với điều kiện x ≥ 0

Ta có: 3x = x + 6 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3 (TMĐK)

Do đó x = 3 là nghiệm của phương trình (1).

+ ) Phương trình -3x = x + 6 với điều kiện x < 0

Ta có -3x = x + 6 ⇔ -4x + 6 ⇔ x = -3/2 (TMĐK)

Do đó x = -3/2 là nghiệm của phương trình (1).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho S = {3; -3/2}

ĐKXĐ: x ≠ 0, x ≠ 2

Quy đồng mẫu hai vễ của phương trình, ta được:

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-1}

c) (x + 1)(2x – 2) – 3 > –5x – (2x + 1)(3 – x)

⇔ 2x² – 2x + 2x – 2 – 3 > –5x – (6x – 2x² + 3 – x)

⇔ 2x² – 5 ≥ –5x – 6x + 2x² – 3 + x

⇔ 10x ≥ 2 ⇔ x ≥ 1/5

Tập nghiệm: S = {x | x ≥ 1/5}

Bài 2

Gọi số sản phẩm theo kế hoạc tổ sản xuất là x (sản phẩm)

Điều kiện: x nguyên dương, x > 57

Thời gian dự dịnh theo kế hoạch là: x/50 (ngày)

Số sản phẩm về sau là: x + 13 (sản phẩm)

Thời gian thực tế tổ sản xuất là:

Theo đề ta có phương trình:

⇔ 57x - 50(x + 13) = 2850

⇔ 57x - 50x - 650 = 2850

⇔ 7x = 3500 ⇔ x = 500 (TMĐK)

Vậy theo kế hoạch tổ sản xuất là 500 sản phẩm.

Bài 3

Ta có:

⇔ a(b + c) < (a + c)b

(vì a > 0, b > 0 và c > 0 ⇔ b + c > 0 và a + c > 0)

⇔ ab + ac < ab + bc

⇔ ac < bc ⇔ a < b (luôn đúng, theo gt)

Bài 4

a) Xét ΔAEB và ΔAFC có:

∠AEB = ∠AFC = 90^o (gt)

∠A chung

Vậy ΔAEB ∼ ΔAFC (g.g)

b) Xét ΔAEF và ΔABC có

∠A chung

AF.AB = AE.AC (Cmt)

⇒ ΔAEF ∼ ΔABC (c.g.c)

⇒ ∠AEF = ∠ABC

c) ΔAEF ∼ ΔABC (cmt)

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2024

Môn: Toán 8

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề thi số 4)

Bài 1: ( 3đ ) Giải phương trình sau đây :

a) 8( 3x - 2 ) - 14x = 2( 4 – 7x ) + 15x

b) ( 3x – 1 )( x – 3 ) – 9 + x² = 0

c) |x-2| = 2x-3

Bài 2: ( 1đ ) : Giải bất phương trình sau đây và biểu diễn tập nghiệm trên trục số :

Bài 3: (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của A = -x² + 2x + 9

Bài 4: ( 1,5đ ) : Giải bài toán bằng cách lập phương trình :

Một người đi xe máy dự định đi từ A đến B với vận tốc 36km/h. Nhưng khi thực hiện người ấy giảm vận tốc 6km/h nên đã đến B chậm hơn dự định là 24 phút. Tính quãng đường AB

Bài 5: ( 3,5đ ) :Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Vẽ HD ⊥ AB ( D ∈ AB ). HE ⊥ AC ( E ∈ AC ). AB = 12cm, AC = 16 cm

a) Chứng minh : ΔHAC ∼ ΔABC

b) Chứng minh : AH² = AD.AB

c) Chứng minh : AD.AB = AE.AC.

d) Tính

Đáp án và Hướng dẫn giải

Bài 1

a) 8( 3x - 2 ) - 14x = 2( 4 – 7x ) + 15x

⇔ 24x – 16 -14x = 8 – 14x + 15x

⇔ 10x -16 = 8 + x

⇔ 9x = 24

⇔ x = 24/9

b) ( 3x – 1 )( x – 3 ) – 9 + x² = 0

⇔ (3x -1)( x – 3) + (x - 3)( x + 3) = 0

⇔ (x - 3)(3x - 1 + x - 3) = 0

⇔ (x - 3)(4x - 4) = 0

c) |x - 2| = 2x - 3

TH1: x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2

Khi đó: x - 2 = 2x – 3

⇔ 2x – x = -2 + 3

⇔ x = 1 (không TM điều kiện x ≥ 2)

TH2: x – 2 < 0 ⇔ x < 2

Khi đó: x-2 = -(2x – 3)

⇔ x – 2 = -2x + 3

⇔ 3x = 5

⇔ x = 5/3 ( TM điều kiện x < 2)

MTC: x(x-2)

ĐKXĐ: x ≠ 0;x ≠ 2

Đối chiếu với ĐKXĐ thì pt có nghiệm x = - 1

Bài 2

⇔ 2x - 2 - 9x - 15 ≥ 6 - 4x - 5

⇔ 2x - 9x + 4x ≥ 6 - 5 + 2 + 15

⇔ -3x ≥ 18

⇔ x ≤ -6

Vậy tập nghiệm của phương trình là S= {x|x ≤ -6}

Biểu diễn nghiệm trên trục số:

Bài 3: A = -x² + 2x + 9 = -(x² – 2x + 1) + 10 = - (x + 1)² + 10

Ta có: -(x - 1)² ≤ 0 ∀x

-(x - 1)² + 10 ≤ 10

Dấu bằng xảy ra khi (x - 1)² = 0 ⇔ x = 1

Vậy GTLN của A là 10, đạt được khi x = 1

Bài 4

Gọi quãng đường AB là x (km) (x > 0)

Thời gian người đó dự định đi là: x/36 (km)

Vận tốc đi thực tế là: 36 – 6 = 30 (km)

Thời gian thực tế người đó đi là: x/30 (km)

Do đến B chậm hơn dự tính 24’ = 2/5 h nên ta có phương trình:

⇔ 5x + 36 = 6x

⇔ x = 36

Vậy quãng đường AB là 36 km.

Bài 5

a) Xét ΔHAC và ΔABC có:

∠(ACH ) là góc chung

∠(BAC)= ∠(AHC) = 90^o

⇒ ΔHAC ∼ ΔABC (g.g)

b) Xét ΔHAD và ΔBAH có:

∠(DAH ) là góc chung

∠(ADH) = ∠(AHB) = 90^o

⇒ ΔHAD ∼ ΔBAH (g.g)

c) Tứ giác ADHE có 3 góc vuông ⇒ ADHE là hình chữ nhật.

⇒ ΔADH= ΔAEH ( c.c.c) ⇒ ∠(DHA)= ∠(DEA)

Mặt khác: ΔHAD ∼ ΔBAH ⇒ ∠(DHA)= ∠(BAH)

∠(DEA)= ∠(BAH)

Xét ΔEAD và ΔBAC có:

∠(DEA)= ∠(BAH)

∠(DAE ) là góc chung

ΔEAD ∼ ΔBAC (g.g)

d) ΔEAD ∼ ΔBAC

ΔABC vuông tại A, theo định lí Pytago:

Theo b, ta có:

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2024

Môn: Toán 8

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề thi số 5)

Phần trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1: Trong các phương trình sau; phương trình nào là bậc nhất một ẩn?

A/ x – 5 = x + 3       B/ ax + b = 0

C/ (x - 2)( x + 4) = 0       D/ 2x + 1 = 4x + 3

Câu 2: Phương trình : x2 =-9 có nghiệm là :

A/ Một nghiệm x = 3       B/ Một nghiệm x = -3

C/ Có hai nghiệm : x = -3; x = 3       D/ Vô nghiệm

Câu 3: Giá trị của b để phương trình 3x + b =0 có nghiệm x = -3 là :

A/ 4       B/ 5       C/9       D/ KQ khác

Câu 4: Phương trình : có nghiệm là :

A/ 0       B/ 1       C/ 2       D/Kết quả khác

Câu 5: x ≥ 0 và x > 4 thì

A/ 0 ≤ x < 4       B/ x > 4       C/ x ≥ 4       D/ x ∈ ∅

Câu 6: Bất phương trình có nghiệm là :

A/ x < 1       B/ x < 2       C/ x > 2      D/ KQ khác

Câu 7: Cho các đoạn thẳng AB=8cm ;CD = 6cm ; MN = 12mm. PQ = x. Tìm x để AB và CD tỉ lệ với MN;PQ

A/ x = 9 cm       B/ x = 0,9cm       C/ x = 18 cm       D/ Cả ba đều sai

Câu 8: Cho ΔABC đồng dạng với ΔA’B’C’. Biết và hiệu số chu vi của ΔA’B’C’và chu vi của ΔABC là 30. Phát biểu nào đúng

A/ C_ΔABC =20 ;C_{ΔA’B’C’}= 50       B/ C_{ΔABC =50} ;C_{ΔA’B’C’= 20}

C/ C_ΔABC = 45 ;C_{ΔA’B’C’}= 75       D/ Cả ba đều sai

Phần tự luận (8 điểm)

Bài 1: (2,5 điểm) Giải phương trình và bất phương trình sau :

Bài 2: (1,5 điểm) Hai người cùng làm chung một công việc hết 12 ngày. Năng suất trong một ngày của người thứ hai bằng 2/3 năng suất người thứ nhất. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu mới xong công việc ?

Bài 3: (0,5 điểm) Cho a > 0 và b > 0. Chứng minh rằng:

Bài 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, biết AB = 15cm, AC = 13cm và đường cao AH = 12cm. Gọi N, M lần lượt là hình chiếu vuông góc của H xuống AC và AB.

a) Chứng minh rằng ΔAHN ∼ ΔACH

b) Tính độ dài BC

c) Chứng minh ΔAMN ∼ ΔACB

d) Tính MN

Đáp án và Hướng dẫn giải

Phần trắc nghiệm (2 điểm)

1. D	2. D	3.C	4.A
5.B	6.C	7.B	8.A

Phần tự luận (8 điểm)

Bài 1

a) Điều kiện: x ≠ 0 và x ≠ 1

MTC: x(x – 1)

(thỏa mãn ĐKXD)

Tập nghiệm của (1): S = {3/5}

b) (2) ⇔ |1 – 2x| = 2x – 1 ⇔ |2x – 1| = 2x – 1

Ta biết |A| = A nếu A ≥ 0. Vậy 2x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1/2

Tập nghiệm của (2) : S = {x | x ≥ 1/2}

⇔4(x + 1) – 12 ≥ 3(x – 2)

⇔ 4x + 4 – 12 ≥ 3x – 6

⇔ 4x – 3x ≥ 8 – 6

⇔ x ≥ 2

Tập nghiệm: S = {x | x ≥ 2}

Bài 2

Gọi x là số ngày để người thứ nhất làm một mình xong công việc (x ∈ N*)

Một ngày người thứ nhất làm được 1/x công việc

Một ngày người thứ hai làm được

Một ngày cả hai người làm được

Hai người làm chung thì xong công việc trong 12 ngày nên một ngày cả 2 người làm được 1/12 công việc

Do đó, ta có phương trình:

⇔ 12 + 8 = x ⇔ x = 20 (nhận)

Trả lời: Người thứ nhất làm trong 20 ngày; người thứ hai làm trong 30 ngày.

Bài 3

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Bài 4

a) Xét ΔANH và ΔAHC có:

∠(NAH) chung

∠(ANH) = ∠(AHC) = 90^o

⇒ ΔANH ∼ ΔAHC (g.g)

b) Ta có :

Tương tự : CH = 5 (cm)

⇒ BC = BH + CH = 9 + 5 = 14 (cm)

c) Theo chứng minh trên ta có:

Chứng minh tương tự ta có :

ΔAMH ∼ ΔAHB ⇒ AH² = AM.AB (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AN.AC = AM.AB nên (3)

Xét ΔAMN và ΔACB có :

∠A chung

⇒ ΔAMN ∼ ΔACB (c.g.c)

d) Ta có : ΔAMH ∼ ΔAHB

Lại có ΔAMN ∼ ΔACB (cmt)

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2024

Môn: Toán 8

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề thi số 6)

Bài 1: (3 điểm) Giải phương trình và bất phương trình:

C) x – 2)² + 2(x – 1) ≤ x² + 4

Bài 2: (2 điểm) Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60km/h và đi từ B về A với vận tốc 45km/h. Thời gian cả đi và về hết 7 giờ. Tính quãng đường AB.

Bài 3: (1 điểm)Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì a² + b2 ≥ 1/2

Bài 4: (4 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = AD = CD/2. Gọi M là trung điểm của CD và H là giao điểm của AM và BD.

a) Chứng minh tứ giác ABMD là hình thoi

b) Chứng minh BD ⊥ BC

c) Chứng minh ΔAHD và ΔCBD đồng dạng

d) Biết AB = 2,5cm; BD = 4cm. Tính độ dài cạnh BC và diện tích hình thang ABCD.

Đáp án và Hướng dẫn giải

Bài 1

a) Điều kiện: x + 2 ≠ 0 và x – 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2

(Khi đó: x² – 4 = (x + 2)(x – 2) ≠ 0)

Vậy tập nghiệm của pt là: S = {-1; 1}

b) Điều kiện: 2x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

Khi đó: |x – 5| = 2x ⇔ x – 5 = 2x hoặc x – 5 = -2x

⇔ x = -5 hoặc x = 5/3

Vì x ≥ 0 nên ta lấy x = 5/3 . Tập nghiệm : S = {5/3}

c) x – 2)² + 2(x – 1) ≤ x² + 4

⇔ x² – 4x + 4 + 2x – 2 ≤ x² + 4

⇔ -2x ≤ 2

⇔ x ≥ -1

Tập nghiệm S = {x | x ≥ -1}

Bài 2

Gọi x (km) là quãng đường AB (x > 0)

Thời gian đi từ A đến B là: x/60 (giờ)

Thời gian đi từ B về A là: x/45 (giờ)

Theo đề ra, ta có phương trình:

⇔ 3x + 4x = 7.180 ⇔ 7x = 7.180 ⇔ x = 180 (nhận)

Trả lời: Quãng đường AB dài 180km.

Bài 3

Ta có: a + b = 1 ⇔ b = 1 – a

Thay vào bất đẳng thức a² + b² ≥ 1/2 , ta được:

a² + (1 – a)² ≥ 1/2 ⇔ a² + 1 – 2a + a² ≥ 1/2

⇔ 2a² – 2a + 1 ≥ 1/2 ⇔ 4a² – 4a + 2 ≥ 1

⇔ 4a² – 4a + 1 ≥ 0 ⇔ (2a – 1)² ≥ 0 (luôn đúng)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 4

a) Ta có: AB = AD = CD/2 và M là trung điểm của CD (gt)

⇔ AB = DM và AB // DM

Do đó tứ giác ABMD là hình bình hành có AB = AD. Vậy ABMD là hình thoi.

b) M là trung điểm của CD nên BM là trung tuyến của ΔBDC mà MB = MD = MC. Do đó ΔBDC là tam giác vuông tại B hay DB ⊥ BC

c) ABMD là hình thoi (cmt) ⇔ ∠D1 = ∠D₂

Do đó hai tam giác vuông AHD và CBD đồng dạng (g.g)

d) Ta có :

Xét tam giác vuông AHB, ta có :

Dễ thấy tứ giác ABCM là hình bình hành (AB // CM và AB = CM)

⇒ BC = AM = 3 (cm)

Ta có:

M là trung điểm của DC nên

S_BMD = S_BMC = S_BCD/2 = 3 (cm²) (chung đường cao kẻ từ B và MD = MC)

Mặt khác ΔABD = ΔMDB (ABCD là hình thoi)

⇔ S_ABD = S_BMD = 3 (cm²)

Vậy S_ABCD = S_ABD + S_BMD + S_BMC = 9 (cm²)