Giải các phương trình sau bài 1.28 trang 38 SBT Đại số 11

Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Bài 1.28 trang 38 Sách bài tập Đại số 11: Giải các phương trình sau

a) cos²x + 2sinx.cosx + 5sin²x = 2;

b) 3cos²x - 2sin2x + sin²x = 1;

c) 4cos²x - 3sinx.cosx + 3sin²x = 1.

Lời giải:

a) cos²x + 2sinx.cosx + 5sin²x = 2

Rõ ràng cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế cho cos2x ta được:

1 + 2tanx + 5tan²x = 2(1 + tan²x)

⇔ 3tan²x + 2tanx - 1 = 0

b) 3cos²x - 2sin2x + sin²x = 1

Với cosx = 0 ta thấy hai vế đều bằng 1. Vậy phương trình có nghiệm x = 0,5π + kπ, k ∈ Z

Trường hợp cosx ≠ 0, chia hai vế cho cos2x ta được:

3 - 4tanx + tan²x = 1 + tan²x

⇔ 4tanx = 2

⇔ tanx = 0,5

⇔ x = arctan 0,5 + kπ, k ∈ Z

Vậy nghiệm của phương trình là x = 0,5π + kπ, k ∈ Z và x = arctan 0,5 + kπ, k ∈ Z

c) 4cos²x - 3sinx.cosx + 3sin²x = 1

Rõ ràng cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được:

4 - 3tanx + 3tan²x = 1 + tan²x

⇔ 2tan²x - 3tanx + 3 = 0

Phương trình cuối vô nghiệm đối với tanx, do đó phương trình đã cho vô nghiệm